Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse. 363
könne. Da aber 03 abgeschlossen, mithin höchstens eine Menge Ta ist, kann
nach ~ 8, Satz IV diese Funktion zu einer Funktion erweitert werden, die im
ganzen Raume von höchstens a-ter Klasse ist,
~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse.
Beispiele von Funktionen erster Klasse können unschwer gebildet werden: Nach ~ 6, Satz I ist z. B. jede oberhalb oder unterhalb stetige Funktion, die nicht zugleich stetig ist, eine Funktion
erster Klasse.
Satz I. Auf einer abzählbaren Menge 91 ist jede Funktion
von höchstens erster Klasse.
In der Tat, bestehe 91 aus den Punkten a1, a...., a>,..., und
sei f eine beliebige Funktion auf S1. Wir bezeichnen mit 9Sy) die
Menge, die nur aus dem Punkte a, besteht. Dann ist:
= 1+,+t... + 9+ +...,
und es ist jedes 9IYV eine Menge 'f; ferner ist:
c (f, ) = 0.
Also ist nach ~ 8, Satz III f von höchstens erster Klasse auf 9, und
Satz I ist bewiesen.
Ist 91 relativ-vollständig, so kann für Funktionen erster Klasse
Satz VI von-~ 9 wesentlich verschärft werden:
Satz II1). Ist die 'separable Menge 1 relativ-vollständig,
so ist, damit f von höchstens erster Klasse sei auf 91, notwendig und hinreichend, daß f punktweise unstetig sei auf
jedem in 91 perfekten Teile von t.
Die Bedingung ist notwendig. Denn ist f von höchstens erster
Klasse auf 51, so auch auf jedem in 91 perfekten Teile V von 1.
Also ist f nach Kap. IV, ~ 7, Satz V punktweise unstetig auf Ö.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so gibt
es in jedem in 1 perfekten Teile von 91 einen Punkt, in dem f
stetig auf Sp, d. h. von nullter Klasse auf Xß, mithin auch von erster
Klasse auf $ ist. Also ist nach ~ 9, Satz VI f von höchstens erster
Klasse auf 91, und Satz II ist bewiesen.
1) Dieser Satz wurde zuerst bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3)
3 (1899), 16 (für Funktionen einer reellen Veränderlichen); Bull. soc. math.
28 (1900), 173 (für Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher). Andere Beweise H. Lebesgue, C. R. 128 (1899), 811; Bull. soc. math. 32 (1904), 229;
Journ. de math. (6) 1 (1905), 182; C. A. Dell'-Agnola, Atti Ven. 68 (1909),
775; Rend. Lomb. 41 (1908), 287, 676.