Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

362 Die Baireschen Funktionen.
zu einer Funktion c-ter Klasse (c> 1) auf 21 erweitert werden kann,
ist ferner s> 0 so klein gewählt, daß die in 9I abgeschlossene
Menge DJ aller Punkte von 2I, in denen f nicht mit der Annäherung e
von a-ter Klasse erweiterbar ist auf 91, nicht leer ausfällt, so ist
S dicht in E9, und fist in keinem Punkte von 9J3 mit der Annäherung
e von a-ter Klasse erweiterbar auf.lq.
Angenommen in der Tat, 3 sei nicht dicht in 9X. Dann gibt es in 9J
einen Punkt ao mit einer Umgebung U (a0), die keinen Punkt von S9)3 enthält. Zu jedem Punkte a von X1 - 9 gibt es eine abgeschlossene Umgebung
U (a) und eine Funktion f* höchstens a-ter Klasse auf S1, so daß:!f — f i auf U1(a).-.
Indem wir nun ganz so weiter schließen, wie beim Beweise von Satz IV, wobei wir nur unter f0 die Funktion verstehen, die = 0 ist auf ganz 91, kommen
wir zu einer Funktion F höchstens ~c-ter Klasse auf X1, so daß:
~(*) \'~f- F <s auf tU(a). S3.
Es wäre also f in ao mit der Annäherung s von o-ter Klasse erweiterbar auf s1,
entgegen der Definition von 91. Also ist 3 dicht in 9S.
Angenommen nun, es wäre f im Punkte a0 von Dl mit der Annäherung e
von ca-ter Klasse erweiterbar von S.33 auf 93. Dann gibt es eine Umgebung
I (a0) und eine Funktion fo höchstens a-ter Klasse auf 9J), so daß
f- f0o I auf lU(ao). S.9.
Erweitern wir die Definition von fo auf ganz 92, indem wir setzen:
fo 0 auf 9f- 9(,
so ist wie beim Beweise von Satz IV /o von höchstem c-ter Klasse auf 21.
Indem wir wieder in derselben Weise weiter schließen, wie beim Beweise von
Satz IV, gelangen wir zu einer Funktion F höchstens ca-ter Klasse auf 2,
die (*) erfüllt, womit wir abermals bei einem Widerspruche angelangt sind.
Und Satz X ist bewiesen.
Wie vorhin die Sätze V und VI erhält man nun die Sätze:
Satz XI. Ist 3 ein in 2S dichter Teil der separablen Menge 2l,
so ist die Menge aller Punkte von 21, in denen die auf B gegebene
und beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung von ca-ter
Klasse (c 1l) erweiterbar ist auf s), perfekt in S1.
Satz XII. Ist B ein in W dichter Teil der separablen Menge 21,
so ist, damit die auf S gegebene Funktion f zu einer Funktion
höchstens a-ter Klasse (cal) auf 21 erweitert werden könne, notwendig und hinreichend, daß es auf jedem (nicht leeren) in 1 perfekten Teile $ von W1, in dem 3 dicht ist, einen Punkt gebe, in
dem f von a-ter Klasse erweiterbar auf $ ist.
Und nun können wir das Schlußresultat dieser Untersuchung aussprechen:
Satz XIII. Sei. der metrische Raum 91 separabel. Damit die
auf der Menge S gegebene Funktion f zu einer Funktion erweitert
werden könne, die im ganzen Raume S von höchstens,-ter Klasse
(ocl1) ist, ist notwendig und hinreichend, daß es auf jedem perfekten Teile von S~, in dem S dicht ist, einen Punkt gebe, in dem
f von Cc-ter Klasse erweiterbar auf S3~ ist.
In der Tat, nach Satz XII ist die Bedingung notwendig und hinreichend
dafür, daß f zu einer Funktion höchstens a-ter Klasse auf 3~ erweitert werden