Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 9. Verhalten Bairescher Funktionen usw. 361
Der Beweis ist derselbe wie für Satz 11).
Satz VIII. Ist 9 ein in 91 dichter Teil der separablen Menge S,
und ist die auf 3 gegebene Funktion f in jedem Punkte von % von
a-terKlasse erweiterbar auf 91, so gibt es eineFunktionF höchstens
a-ter Klasse auf 9C, so daß:
F=-f auf 9B.
In der Tat, für a =0- reduziert sich' dies auf Kap. II, ~ 5, Satz VI. Für
a > 1 ist der Beweis zunächst derselbe, wie für Satz II, nur daß die dortige
Ungleichung (*) hier nur auf 93 gilt:
(X) tIf-i 1 <e auf 93.
Dabei können wir annehmen, die se seien so gewählt, daß F eV eigentlich konvergiert.,= 1
Wir ersetzen nun in EF jeden Wert > Fl +- e1 durch F + el, jeden Wert
< F - e durch F1 - e, wodurch eine Funktion F* höchstens a-ter Klasse
entsteht (~ 1, Satz VIII). Da wegen (x):
Fl1 -e El _< flF1 + el auf 93,
ist:
F2-fi1\F2-f\ auf 9,
und somit wegen (x):
i{F*-f le2 auf 93.
In derselben Weise fortfahrend bilden wir FE*, indem wir alle Werte von
F3, die > F* +, sind, durch F~ + ~, alle Werte, die < 2* - E2 sind, durch
* - e2 ersetzen usf. Wir erhalten so eine Folge {F*} von Funktionen höchstens cc-ter Klasse auf 91, so daß:
(XX) F -*+ * II< auf,9
(xxx) Iy —ft |-^ auf 3.
Wegen (xx) und der eigentlichen Konvergenz von XE konvergiert {F}
9=1
gleichmäßig auf S9 gegen eine Grenzfunktion F höchstens oc-ter Klasse (~ 1,
Satz X). Wegen (xxx) ist f —= auf 5, und Satz VIII ist bewiesen.
Ist nun f eine auf e gegebene, beschränkte Funktion, die nicht zu einer
Funktion höchstens c-ter Klasse auf 91 erweitert werden kann, so gibt es,
wie Satz VIII lehrt, einen Punkt a von W1, in dem sie nicht von ac-ter Klasse
erweiterbar auf 91 ist. Für jedes hinlänglich kleine s > 0 ist dann f in a auch
nicht mit der Annäherung e von a-ter Klasse erweiterbar auf 9S. Wie oben
Satz III, so beweist man hier:
Satz IX. Ist 93 ein in 91 dichter Teil der separablen Menge 1,
so ist die Menge aller Punkte, in denen die auf e gegebene und
beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung e von a-ter
Klasse erweiterbar auf 91 ist, abgeschlossen in 1.
An Stelle von Satz IV tritt nun:
Satz X. Ist e ein in It dichter Teil der separablen Menge 91,
und ist f eine auf 93 gegebene, beschränkte Funktion, die nicht.
1) Im Falle ca=0 wende man Kap. III, ~ 2, Satz XVII auf diejenige
Funktion an, die = f ist auf 9, und = G (a; f, 98) auf 1 - 3B.