Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

360 Die Baireschen Funktionen.
Es wäre also f in aO mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 21,
entgegen der Definition von 9t. Somit ist Satz IV bewiesen.
Wir können nun Satz III noch weiter präzisieren:
Satz V. Ist atl, so ist die Menge D9 aller Punkte der
separablen Menge 2f, in denen die beschränkte Funktion f
nicht mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf X ist,
perfekt in 91.
In der Tat, da die Menge 9) nach Satz III abgeschlossen in
S ist, so ist nur mehr zu zeigen, daß sie insichdicht ist, d. h. daß
sie keinen isolierten Punkt enthält. Das aber folgt unmittelbar aus
Satz IV. Denn in einem isolierten Punkte wäre f stetig auf 9E, mithin auch von a-ter Klasse auf 9)t, was nach Satz IV nicht der
Fall ist.
Satz VI. Damit die Funktion f auf der separablen
Menge 9f von höchstens a-ter Klasse sei (a>_), ist notwendig und hinreichend, daß es auf jedem (nicht leeren)
in 9 perfekten Teile y von 91 einen Punkt gebe, in dem f
von a-ter Klasse auf 1 ist.
Die Bedingung ist notwendig. Denn ist f von höchstens a-ter
Klasse auf 91, so auch auf jedem Teile von 9I.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist f nicht von höchstens
a-ter Klasse auf 91, so gibt es, wie Satz IV und V lehren, einen in 91
perfekten Teil s9 von 9 derart, daß f in keinem Punkte von 9D auf 9J
von a-ter Klasse ist.
Sei nun 3B ein in 9f dichter Teil von 9f. Wir wollen untersuchen, unter
welchen Umständen eine Funktion höchstens a-ter Klasse auf S2 zu einer
Funktion höchstens a-ter Klasse auf 9- erweitert werden kann. Wir definieren:
Die auf 3 gegebene und endliche Funktion f heißt im Punkte a von %9 mit
der Annäherung s von a-ter Klasse erweiterbar auf 29, wenn es eine Umgebung U (a) und eine Funktion f* höchstens a-ter Klasse auf 9/ gibt, so daß:
i f- fe* I auf U (a) -.
Die auf S3 gegebene und beschränkte Funktion f heißt im Punkte a von 91
von a-ter Klasse erweiterbar auf 91, wenn sie für jedes e > 0 im Punkte a
mit der Annäherung e von a-ter Klasse erweiterbar auf 91 ist.
Die beliebige auf 3 gegebene Funktion f heißt im Punkte a von 91 von
a-ter Klasse erweiterbar auf 9/, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende Funktion im Punkte a von ac-ter Klasse erweiterbar auf 9t ist.
Satz VII. Ist 5 ein in 9/ dichter Teil der separablen Menge 9,
und ist die auf 2 gegebene Funktion f in jedem Punkte von 9f mit
der Annäherung E von a-ter Klasse erweiterbar auf 91, so gibt es
auf 91 eine Funktion F von höchstens a-ter Klasse, so daß:
If- FI~~ auf B3.