Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

358 Die Baireschen Funktionen.
Satz II. Ist eine Funktion f in jedem Punkte der
separablen Menge 91 von a-ter Klasse auf 91, so ist sie von
höchstens a-ter Klasse auf 9.
Dies ist trivial für a=O0. Sei also a 1. Vermöge der
Schränkungstransformation genügt es, den Beweis für beschränkte f
zu führen. Ist {e,} eine Folge positiver Zahlen mit lim,,-= 0, so
1'= C5
ist f in jedem Punkte von 9I mit der Annäherung e, von a-ter
Klasse, es gibt also nach Satz I eine Funktion F" höchstens c-ter
Klasse, so daß auf ganz 91:
(*) f-F, =
Es konvergiert also {F,} gleichmäßig auf 91 gegen f, also ist nach
~ 1, Satz X auch f von höchstens a-ter Klasse auf 91, und Satz II
ist bewiesen.
Ist nun die beschränkte Funktion f nicht von höchstens a-ter
Klasse auf der separablen Menge 91, so gibt es, wie Satz II lehrt,
gewiß einen Punkt a von 91, in dem sie nicht von x-ter Klasse auf
1 ist. Für jedes hinlänglich kleine e>0 ist dann f in a auch
nicht mit der Annäherung e von ac-ter Klasse.
Wir stellen zunächst fest:
Satz III. Die Menge aller Punkte von 91, in denen die
beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung e von
a-ter Klasse auf C9 ist, ist abgeschlossen in 91.
In der Tat, es ist zu zeigen: die Menge B3 aller Punkte von 9,
in denen f mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 9 ist, ist
offen in 91. Sei a ein Punkt von 93, d. h. es gibt eine Umgebung
U (a) von a in 91 und eine Funktion f* höchstens a-ter Klasse,
so daß:
f- f* 1 e auf U (a).
Daraus aber folgt: Auch in jedem Punkte von 1 (a) ist f mit der
Annäherung e von a-ter Klasse auf 91; es gehört also auch jeder
Punkt von U (a) zu e, und mithin ist 93 offen in 91. Damit ist
Satz III bewiesen.
Satz IV. Ist die beschränkte Funktion f nicht von
höchstens a-ter Klasse (a> 1)1) auf der separablen Menge 91,
und ist e>0 so klein gewählt, daß die in 91 abgeschlossene
Menge D9 aller Punkte von 91, in denen f nicht mit der An1) Für == 0 gilt dieser Satz nicht, wie jede Funktion zeigt, die auf einer
abgeschlossenen Menge = 1, sonst = 0 ist.