Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

356 Die Baireschen Funktionen.
Satz IV. Ist a>l, und ist der Teil e von 2f höchstens
eine Menge 2, in 52, so kann jede Funktion f, die auf 23
von höchstens a-ter Klasse ist, zu einer Funktion erweitert
werden, die auch auf 5 von höchstens a-ter Klasse ist,
indem man setzt:
f O auf %-S.
Vermöge der Schränkungstransformation können wir f als endlich annehmen. Nach Satz III gibt es eine Folge { vl',} von Teilen
der Menge 3, die höchstens Mengen 5", in 3 sind, deren Vereinigung
3 ist, und auf denen:
c(f, ^')<;
es gibt also eine Konstante fX, so daß:
If-f:l<e auf Öl'.
Nach ~ 4, Satz VIII ist X' auch höchstens eine Menge B" in 2.
Da e höchstens eine Menge ')", ist 51 - 3 höchstens eine Menge?5a in 2, und es ist daher:
t - = ' +- 2 + ** + Jul +- * * *
wo jedes 9"' von geringerer als a-ter Ordnung1), also höchstens eine
Menge 3).
Wir setzen
mt^-, sJ'= m,..
verstehen unter f2v-l die Konstante f, unter f2, die 0. Anwendung
von Satz II ergibt dann sofort die Behauptung von Satz IV.
~ 9. Verhalten Bairescher Funktionen in der Umgebung eines
Punktes. Erweiterung einer Baireschen Funktion.
Wir definieren2): Die (endliche) Funktion f heißt im Punkte a
von 5 mit der Annäherung e von a-ter Klasse auf 1, wenn
es eine Umgebung 1 (a) von a in 5 und eine Funktion f* höchstens
a-ter Klasse auf 52 gibt, so daß3):
_______ f-f* <e auf 11(a).
1) Dies gilt, wenn a> 1. Ist a =1, so ist 3 abgeschlossen in?i, also
SI- e offen in XI, und für, die O'I können in 9 abgeschlossene Mengen gewählt werden (Kap. I, ~ 3, Satz IV).
2) Diese Definition, sowie der gesamte Inhalt dieses Paragraphen bis einschließlich Satz VI stammt von H. Lebesgue, a. a. O. 174ff.
3) Für a=O ist dann auch
co(a; f, I) 2 e.