Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 7. Die Klasse einer Baireschen Funktion usw. 351
Satz IV. Damit f eine Bairesche Funktion sei, ist notwendig und hinreichend, daß alle Mengen 91(p~f~q)1)
Borelsche Mengen seien.
Die Bedingung ist notwendig: dies ist in Satz I enthalten.
Die Bedingung ist hinreichend. Vermöge der Schränkungstransformation können wir beim Nachweise f als endlich annehmen.
Sei [r', r] (v ==1, 2,...) die Gesamtheit der (abzählbar vielen)
Intervalle des ~9 mit rationalen Endpunkten. Nach Annahme sind
dann alle 9(r, _ f r") Boreische Mengen; sei etwa (r' f< r')
von der Ordnung a,. Dann gist es (Einleitung ~ 4, Satz XIII) ein a
der ersten oder zweiten Zahlklasse, das größer als alle a, (v - 1, 2,...)
ist. Alle Mengen 9(r' f r') sind dann höchstens Mengen Za.
Sei nun das endliche Intervall [p, q] beliebig gegeben. Unter
den [r', r"] gibt es dann eine Folge [r',., r'.], so daß
[p, q] -= [r, r,';].' [r2,, r,21,...' [r," r]j....
Dann ist auch:
1 (p < f < q) = f (4 r < f < ). r 2 f<) *.... (r < f< '
und somit ist auch 91 (p f< q) höchstens eine Menge Za (~ 4, Satz III).
Nach Satz I ist also f von höchstens a-ter Klasse, und somit eine
Bairesche Funktion. Damit ist Satz IV bewiesen.
Aus Satz IV folgern wir leicht:
Satz V. Ist 91 separabel. so hat die Menge aller Borelschen Teile von 9I höchstens die Mächtigkeit c.
In der Tat, sei 23 ein Borelscher Teil von 9. Wir setzen f —
auf 3, f —=O auf 91 —S. Nach Satz IV ist f eine Bairesche Funktion
auf 9. Nach ~ 1, Satz I aber hat die Menge aller Baireschen Funktionen auf 91 die Mächtigkeit c. Damit ist Satz V bewiesen.
Als Anwendung von Satz I beweisen wir:
Satz VI2). Ist f=-O überall auf 91, abgesehen von einer
abzählbaren Punktmenge, so ist f von höchstens zweiter
Klasse auf 91.
In der Tat, jeder Punkt von 91 ist eine Menge Z, jeder abzählbare Teil von 9 daher höchstens eine Menge Q3, sein Komplement somit höchstens eine Menge 3. Für unsere Funktion f nun
ist jede Menge 9 (p f< q) abzählbar, oder die Vereinigung einer
abzählbaren Menge mit dem Komplement einer abzählbaren Menge,
1) Bei endlichem f kann es statt dessen auch heißen: alle Mengenr
9P(p f< q). Vgl. den Beweis von Satz III.
2) R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 72.