Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

350 Die Baireschen Funktionen.
Q(pf q) höchstens Mengen 5a+j, aber für kein ß< a
höchstens Mengen Zß seien.
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f von a-ter
Klasse. Nach Satz I sind alle 9{(p f q) höchstens Mengen.+atl.
Ist a isoliert, und sind alle (p f~ q) auch Mengen a", so wäre
nach Satz I (angewendet auf a - ) f höchstens von (a — )-ter
Klasse entgegen der Annahme. Ist a Grenzzahl, und sind alle
(p f q) höchstens Mengen Zß (ß <a), so wäre nach Satz I f
von höchstens f-ter Klasse, entgegen der Annahme. Damit ist die
Behauptung bewiesen.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie
sei erfüllt. Nach Satz I ist dann f von höchstens cc-ter Klasse.
Sei a eine isolierte Zahl; wäre dann fvon höchstens (a - 1)-ter
Klasse, so wären nach Satz I alle 9 (p ~ f< q) höchstens Mengen )"a
entgegen der Annahme. Sei sodann a eine Grenzzahl; wäre f von
c'-ter Klasse (a' <ca), so wären nach Satz I alle 9 (p < f q) höchstens Mengen a' + 1, was, wegen ca'+1 <a, wieder der Annahme
widerspricht. Also ist f von a-ter Klasse, und Satz II ist bewiesen.
Die Sätze I und II können noch ein wenig anders formuliert werden:
Satz III. Ist f endlich, so können in den Sätzen I und
II die Mengen t(p< f~<q) durch die Mengen 91(p<f<q)
ersetzt werden, wenn gleichzeitig die Mengen ' durch die
entsprechenden Mengen S8 ersetzt werden.
Zum Beweise genügt es, zu zeigen: Ist f endlich, und sind alle
9 (p < f< q) höchstens Mengen Z., so sind alle 9 (p < f< q)
höchstens Mengen Sja, und umgekehrt.
Seien also alle (p ~ f< q) höchstens Mengen a. Dies gilt
dann insbesondere auch von den beiden Mengen 1 (q f +- oo),
9 (- c~ f< p), und mithin (~ 4, Satz IV) auch von deren Vereinigung. Da aber die Menge 1 (p <f < q) das Komplement dieser
Vereinigung zu 9 ist, so ist sie (~ 4, Satz I) höchstens eine Menge
3,, wie behauptet.
Seien umgekehrt alle 9(1 (p< f< q) höchstens Mengen 9,. Dies
gilt dann insbesondere auch von den beiden Mengen 91 (q < f< -+ 0),
9(- oo < f<p) und daher auch von deren Vereinigung (~ 4, Satz III).
Da aber die Menge 1(p f q) das Komplement zu 9 dieser Vereinigung ist, so ist sie höchstens eine Menge "," wie behauptet.
Damit ist Satz III bewiesen.
Wir können nun leicht eine für alle Baireschen Funktionen
charakteristische Bedingung aufstellen~).
1) H. Lebesgue, a. a. O. 168.