Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 7. Die Klasse einer Baireschen Funktion usw. 349
und f gleichzeitig eine Funktion g, (bzw. Ga). Ist dies nicht der
Fall, so ist also wieder f genau von a-ter Klasse. Damit ist Satz II
vollständig bewiesen.
~ 7. Die Klasse einer Baireschen Funktion charakterisiert durch
Borelsche Mengen.
Die Sätze von ~ 6 ermöglichen es uns, von der in ~ 5 gegebenen
Charakterisierung der Ordnung einer Baireschen Funktion durch
gewisse Borelsche Mengen zu einer analogen Charakterisierung ihrer
K 1 a s s e berzugehen 1).
Satz I. Damit f eine Funktion höchstens c-ter Klasse
sei, ist notwendig und hinreichend, daß für alle p und q
die Menge hö(p~<fq) höchstens eine Menge,a+i sei.
Die Behauptung ist richtig für ac 0; denn dann ist f stetig,
und die Mengen ~1 sind die abgeschlossenen Mengen. Und da:
(0) t (p~ f q)= (f P) (f q)
ist, folgt die Behauptung aus Kap. II, ~ 4, Satz VI.
Wir nehmen sie. nun als richtig an für alle a' <c, und beweisen sie für a.
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f von höchstens
a-ter Klasse. Nach ~ 6, Satz I ist dann f höchstens eine Funktion
Ga+l und gleichzeitig höchstens eine Funktion ga+l. Nach ~ 5,
Satz II sind also die Mengen 9 (f < p) und 1 (f > q) höchstens Mengen
~+1i, ihre Komplemente 9(f~p) und 9 (f q) also höchstens Mengen
-a,+i. Also ist nach (0) ihr Durchschnitt 9(p fq) auch höchstens eine Menge Sa+l, wie behauptet.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie
sei erfüllt. Wählt man p - oo oder q = xoo, so sind dann alle
9 (f q) und 9(f>p) höchstens Mengen ',a+1, mithin alle 9(f> q)
und 91 (f <p) höchstens Mengen a+i, und aus ~ 5, Satz II folgt, daß
f höchstens eine Funktion Ga+ und gleichzeitig höchstens eine Funktion ga+l ist. Nach ~ 6, Satz I ist f also auch von höchstens a-ter
Klasse, und Satz I ist bewiesen.
Satz II. Ist a eine isolierte Zahl, so ist, damit f von
a-ter Klasse sei, notwendig und hinreichend, daß alle
9/(p f< q) höchstens Mengen )a+il aber nicht alle höchstens
Mengen ')" seien. - Ist a eine Grenzzahl, so ist, damit f
von a-ter Klasse sei, notwendig u-nd hinreichend, daß alle
1) Vgl. zum Folgenden: H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1904),
156ff. W. Sierpiiiski, Bull. Crac. 1918, 168.