Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 6. Zusammenhang zwischen Klasse und Ordnung usw. 345
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f eine Funktion Ga. Nach Satz II ist jede Menge 9(f> p) höchstens eine
Menge Ba. Angenommen nun, es gäbe ein ß, so daß alle Mengen
9(f>p) auch höchstens Mengen 5Sp wären, so wäre nach Satz II f
höchstens eine Funktion Gß entgegen der Annahme. Gäbe es ferner
ein fß < a, so daß alle Mengen rt (f<p) höchstens Mengen 23 wären,
so wäre nach Satz II (Fußn. 2) f höchstens eine Funktion gß entgegen der Annahme.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so ist
f zunächst nach Satz II höchstens eine Funktion Ga. Wäre nun f
nicht wirklich eine Funktion Ga, so wäre f für ein f < a eine Funktion Gß oder gß. Nach Satz II wären dann alle Mengen r9(f> p)
bzw. alle Mengen 91(f<p) höchstens Mengen eß, entgegen der Annahme. Damit ist Satz III bewiesen.
Wir lassen hier noch einen Hilfssatz folgen, den wir weiterhin
brauchen werden, und der, für den Fall, daß a eine isolierte Zahl
ist, eine Ergänzung zu Satz I bringt.
Satz IV. Ist a eine isolierte Zahl> 1, und Du höchstens
eine Menge ")a in 91, so gibt es eine Funktion f, die höchstens eine Funktion ga-i ist, so daß:
f-=O auf; O < f < 1 auf - s9).
In der Tat, da 9 - 9) höchstens eine Menge 93a ist (~ 4, Satz I),
so gibt es eine Darstellung (~ 4, Satz II):
W- Du-9= 1+t 74 + - + + '''...4n ~..,
wo jedes 9)J höchstens eine Menge ),_-. Nach Satz I ist also die
Funktion f,, die gegeben ist durch:
fv=- auf 9)t,; f,==O auf g9- 9)
höchstens eine Funktion ga1_. Nach ~ 3, Satz XII ist also auch:
00
f: = t
höchstens eine Funktion gG_, womit Satz IV bewiesen ist.
~ 6. Zusammenhang zwischen Klasse und Ordnung einer
Baireschen Funktion.
Nunmehr sind wir in der Lage, den Zusammenhang zwischen
Klasse und Ordnung einer Baireschen Funktion festzustellenl).
1) Vgl. zum Folgenden W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1912), 283.