Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 5. Die Ordnung einer Baireschen Funktion, usw. 343
Satz I. Ist 33 höchstens eine Menge 3, in f1, und ist
f-=l auf D9 und f=O auf 9W-931, so ist f höchstens eine
Funktion G, auf 2. Ist 931 höchstens eine Menge," in sa,
und ist f=-1 auf 93I und f==0 auf W-9he, so ist f höchstens
eine Funktion g, auf sX1t).
In der Tat, die Behauptung ist richtig für a c= 1, da die Mengen
3 und % offen bzw. abgeschlossen in 91, die Funktionen G1 und
gl unterhalb bzw. oberhalb stetig auf 91 sind.
Angenommen, die Behauptung sei richtig für alle ac'<a. Ist
S höchstens eine Menge 5,, so gibt es eine monoton wachsende
Folge {93e,} von Mengen geringerer als a-ter Ordnung, so daß:
Wi9 bilden die Funkti on
Wir bilden die Funktion:
t;,=- auf 9ö,; f;,-O auf 9 —91,.
Nach Annahme ist sie von geringerer als a-ter Ordnung. Ferner
ist {ft} monoton wachsend, und es ist:
f- lim f,,.
He' =- Ax
Also ist f höchstens eine Funktion G-. Damit ist die eine Hälfte
von Satz I bewiesen. Analog beweist man die andre.
Satz II. Damit f höchstens eine Funktion Ga auf 9 sei,
ist notwendig und hinreichend, daß für jedes p die Menge; (f>p) höchstens eine Menge a, sei2).
Der Satz ist richtig für ca=l, da er sich dann auf Kap. II,
~ 9, Satz IV reduziert; in der Tat ist dann f unterhalb stetig, die
Menge (f p) abgeschlossen in f1, die Menge 91 (f>p) demnach
offen in 91, d. h. eine Menge,l.
Wir nehmen nun den Satz sowie den entsprechenden Satz für
Funktionen g, (Fußn. 2) als richtig an für alle a'<ca, und zeigen,
daß er dann auch für a gilt.
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat f höchstens
eine Funktion G, und {f,} eine monoton wachsende Folge von
Funktionen geringerer als a-ter Ordnung mit
lim f, f.
__ = 00
1) Die Zahlen 0 und 1 sind dabei nur der Einfachheit halber gewählt
Es kann 0 ersetzt werden durch irgendeine Zahl a, und 1 durch irgendeine
Zahl b > a.
2) Den entsprechenden Satz für Funktionen g,. erhält man, indem man
t (f > p) durch % (f < p) erset zt.