Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

338 Die Baireschen Funktionen.
Wegen einer künftigen Anwendung zeigen wir noch:
Satz VII. Ist 33-<2 und ( höchstens eine Menge,)($7a)
in 23, so ist:
(x) - = -(s.*,
wo (* höchstens eine Menge,.(3,a) in E.
Die Behauptung ist richtig für ca= 1 (Kap. I, ~ 3, Satz XII).
Angenommen sie sei richtig für alle c'< a. Es ist:
wo alle ( von geringerer als cc-ter Ordnung in e sind, und daher
die Form haben:,;, = ( Q* (G* von geringerer als a-ter Ordnung in 2t).
Setzen wir also:
so ist (* höchstens eine Menge Sa in 91, und da:
ist Satz VII ist bewiesen.
Satz VIII. Ist 58 höchstens eine Menge Sa in 92 und (E
höchstens eine Menge ", in 83, so ist t auch höchstens eine
Menge 'Sa in 29.
In der Tat, dies folgt vermöge Satz III unmittelbar aus (x)
von Satz VII, da darin nun sowohl 3 als (* höchstens Mengen
Za (in 2) sind.
Wie wir in Kap. I, ~ 8, Satz IX sahen, ist jeder o-Durchschnitt
in einer separablen vollständigen Menge abzählbar oder von der
Mächtigkeit c. Wir wollen nun zeigen1), daß dasselbe für alle
Borelsehen Mengen gilt (unter denen ja die o-Durchschnitte als
Spezialfall enthalten sind). Wir zeigen zunächst:
Satz IX. In einer separabjen und vollständigen Menge
besitzt jede nicht abzählbare Borelsehe Menge einen (nicht
leeren) perfekten Teil.
Sei zunächst 59 irgendeine Boreische Menge von einer Ordnung
ac>1. Sie kann in folgender Form dargestellt werden:
wo jd n n oes... o g....
wo jede Menge H 33 eine Borelsche Menge von geringerer als a-ter
1) F. Hausdorff, Math. Ann. 77 (1916), 430.