Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 4. Borelsche Mengen. 335.
den Folge von Mengen geringerer als a-ter Ordnung heißt, wenn
sie nicht von geringerer als a-ter Ordnung ist, eine Menge 23a, der
Durchschnitt einer monoton abnehmenden Folge von Mengen geringerer als a-ter Ordnung heißt, wenn er nicht von geringerer als
a-ter Ordnung ist, eine Menge Z.. Die Mengen 3c, und," heißen
Mengen ar-ter Ordnung.
Ist die Menge ~9 von a-ter oder geringerer Ordnung, so heißt
sie von höchstens a-ter Ordnung; ist sie eine Menge 58, (.) oder
von geringerer als a-ter Ordnung, so sagen wir, sie sei höchstens
eine Menge 3a. (ta).
Die Mengen 58. und 'a (für irgendein a der ersten oder
zweiten Zahlklasse) bezeichnen wir als Borelsche Mengen (in 2f),
oder Borelsche Teile von 2f.
Satz I. Das Komplement zu 91 einer Menge 3,a (in 91)
ist eine Menge,a (in 91) und umgekehrt.
In der Tat, dies ist richtig für a —1. Angenommen, es sei
richtig für a'< a. Ist 9)1 eine Menge 3a, so ist
m = m, b 2 -5... -... *,
wo {)Jl,} eine monoton wachsende Folge von Mengen geringerer als
a-ter Ordnung. Dann aber ist:
wo {92 - -,} eine monoton abnehmende Folge von Mengen ist,
deren jede, wegen des für a' < a als richtig angenommenen Satzes I,.
von geringerer als a-ter Ordnung ist.
Demnach ist 91-91N höchstens eine Menge Za. Wäre
91- 91 von geringerer als a-ter Ordnung, so zufolge dem für a' <a
als richtig angenommenen Satz I auch sein Komplement zu 91, d. h.
s9t. Da aber 9)J nach Annahme eine Menge 3a, also nicht von geringerer als a-ter Ordnung ist, so ist Satz I bewiesen.
Wir beweisen nun durch Induktion gleichzeitig die drei Sätze:
Satz II1). Ist die Menge 9r höchstens eine Menge 2a(a>1),
so ist sie Vereinigung einer monoton wachsenden Mengenfolge {),,}, in der jedes 9, höchstens eine Menge $%(av<c<) ist.
Satz III. Sind die abzählbar vielen Mengen, (v = — 1, 2,...)
höchstens Mengen 3,, so auch ihre Vereinigung. Sind sie
höchstens Mengen Z, so auch ihr Durchschnitt.
Satz IV. Sind die endlich vielen Mengen 9, (vz= l, 2,...,n)
höchstens Mengen B,, so auch ihr Durchschnitt. Sind sie;
höchstens Mengen,, so auch ihre Vereinigung.
1) Ein analoger Satz gilt, wenn 9)? höchstens eine Menge $a ist.