Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

334 Die Baireschen Funktionen.
Sei in der Tat {e} eine Folge positiver Zahlen, so daß:
i(* ) < und mithin lim = O.
3 i==ä
Dann gibt es1) in {fr} eine Teilfolge {fi, so daß:
I f — <i
Hieraus folgt sofort:
fri- 2 Ei < -; fi l-2 eiS f- 3ei-i,
und somit wegen (*):
fvi — 2 ei < fvi+l -2 ei1
Es ist also die Folge {f,- 2 ei monoton wachsend, und da
(Satz IX) zugleich mit fi auch f - 2 ei höchstens eine Funktion
Ga ist, folgt wegen
f lim (fi- 2 ei)
i = 00
aus Satz VII, daß auch f höchstens eine Funktion G0 ist. Damit
ist Satz XII bewiesen.
~ 4. Borelsche Mengen.
In engster Beziehung zu den Baireschen Funktionen stehen
gewisse Punktmengen, die durch iterierte Vereinigungs- und Durchschnittsbildungen, ausgehend von den abgeschlossenen und offenen
Punktmengen gewonnen werden, und die wir als Borelsche Mengen
bezeichnen wollen, weil E. Borel wiederholt auf ihre Bedeutung
hingewiesen hat.
Sei %9 eine gegebene Punktmenge. Wir bezeichnen die in 9/
abgeschlossenen Mengen als Mengen ' (in 91) 2), die in 9/ offenen
Mengen als Mengen 1 (in 21). Die Mengen 'D und l bezeichnen
wir auch als die Mengen erster Ordnung (in 29).
Nun definieren wir für jedes a der ersten oder zweiten Zahlklasse die Mengen a-ter Ordnung, die Mengen 'a und 3a durch
Induktion. Wir nehmen an, diese Begriffe seien schon definiert für
alle f< a, und zwar so, daß die Mengen S) und $p zusammen
die Mengen ß-ter Ordnung bilden. Jede Menge ß-ter Ordnung
(ß< a) heißt von geringerer als a-ter Ordnung.
Und nun definieren wir: Die Vereinigung einer monoton wachsen1) Vermöge der Schränkungstransformation können wir uns auf den Fall
eigentlich gleichmäßiger Konvergenz beschränken.
2) Der Zusatz "in 91" wird weggelassen, wo kein Zweifel über die zugrunde gelegte Menge möglich ist.