Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 3. Funktionen a-ter Ordnung. 333
den Funktionenfolge {fv}, in der jedes f,, höchstens eine
Funktion g" (ac, < a) ist.
Wählt man in Satz IV für F die Funktion x-+ x2, so erhält man:
Satz IX. Sind f1 und f2 höchstens Funktionen Ga (oder
g~) auf?f, so ist auch die Summe f- + -f höchstens eine
Funktion Ga (bzw. g,) auf dem Teile 9f' von 9X, auf dem sie
ausführbar ist.
Wählt man in Satz IV F===xl x für x1>O, > 0, so erhält
man:
Satz X. Sind f1 und f2 nicht negativ und höchstens
Funktionen Ga (oder g,) auf 92, so ist auch das Produkt f.fs
höchstens eine Funktion G, (bzw. ga) auf dem Teile 92' von
)2, auf dem es ausführbar ist.
Endlich erhalten wir noch:
Satz XI. Ist f eine Funktion Ga (oder ga), so ist - f eine
Funktion g, (bzw. Ga).
In der Tat, nach Kap. II, ~ 8, Satz VI ist dies richtig für
-1. Angenommen, es sei richtig für alle a'< a. Ist f eine
Funktion Ga, so ist:
f= lim f,,
V = 00
wo {f,} eine monoton wachsende Folge von Funktionen geringerer
als a-ter Ordnung. Nach Annahme ist dann auch - fy von geringerer
als a-ter Ordnung, und da {- f,} monoton abnimmt, ist
f lim (- f,)
V= 00
höchstens eine Funktion g,. Wäre nun - f von geringerer als a-ter
Ordnung, so nach Annahme auch f. Da aber f als Funktion Ga
vorausgesetzt war, ist es nicht von geringerer als a-ter Ordnung;
also ist auch - f nicht von geringerer als a-ter Ordnung, und mithin eine Funktion ga. Damit ist Satz XI bewiesen.
Als Gegenstück zu ~ 1, Satz X gilt hier:
Satz XII1). Die Grenzfunktion f einer auf 29 gleichmäßig konvergenten Folge {fy} ist, wenn alle f, höchstens
Funktionen Ga (oder ga) sind, gleichfalls höchstens eine
Funktion Ga (bzw. ga).
~) Ein anderer Beweis dieses Satzes bei W. H. Young, Lond. Proc. (2)
12 (1913), 357.