Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

22 Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre.
Mächtigkeit; sie heißt: die Mächtigkeit des Ordnungstypus a. Wie
man sieht, ist die Mächtigkeit der Ordinalzahl (*) (ebenso z. B. von
c(0) NO. Man bezeichnet die Menge aller endlichen Ordinalzahlen
als die Zahlklasse 8,; die Menge aller Ordinalzahlen der Mächtigkeit NO als die Zahlklasse 82 oder auch 3(N0).
Satz XIII. Zu jeder abzählbaren Menge S1 von Zahlen
aus 31+82 gibt es in 3, 1 2 eine Zahl, die größer ist, als
alle Zahlen von A.
Da zugleich mit a auch a —1 zu, 1+82 gehört, bedarf dies
eines Beweises nur, wenn es in 29 keine größte Zahl gibt. Bilden
wir in dem Falle nach Satz X die auf alle Zahlen a von 9I unmittelbar folgende Zahl ß; sie ist, wenn?(, die Menge aller Ordinalzahlen <<a bedeutet, der Ordnungstypus der Vereinigung 3
aller 21,. Nun ist jede Menge 91o abzählbar, und da es in 91 nur
abzählbar viele a gibt, so ist (~ 2, Satz VIII) auch 3B abzählbar,
d. h. fl gehört zu 3, - +32 wie behauptet.
Satz XIV. Die Zahlklasse,2 ist eine nicht abzählbare
Menge. Bezeichnen wir ihre Mächtigkeit mit a, so ist demnach'):
In der Tat, wäre 32 und somit auch 1 + 82 abzählbar, so
gäbe es nach Satz XIII eine Zahl in 1 + 32 die größer ist als
alle Zahlen von 81 +,-2, was ein Widerspruch ist. Damit ist
Satz XIV bewiesen. - Wir bemerken noch, daß nach ~ 2, Satz X
auch 1 +3S2 die Mächtigkeit N, hat.
Nach Satz X gibt es eine auf alle Zahlen von 32 unmittelbar
folgende Zahl; sie wird mit co, bezeichnet. Nach Satz VIII ist sie
der Ordnungstypus von 3, + 2 in natürlicher Reihenfolge, und mithin ein Ordnungstypus der Mächtigkeit s,. Die Menge aller Ordinalzahlen der Mächtigkeit sr wird als die Zahlklasse 83 oder 3(N,) bezeichnet. Die kleinste unter ihnen ist die Zahl co, die deshalb
auch die Anfangszahl von 3(1,) heißt.
Satz XV. Es gibt keine Mächtigkeit zwischen N0 und N,.
Dies ist bewiesen, wenn wir zeigen: jeder Teil von 31 + 82 hat
entweder die Mächtigkeit sN oder ist abzählbar. Nun hat nach
Satz XII jeder solche Teil 9 zum Ordnungstypus eine Ordinalzahl
< co, d. h. entweder die Ordinalzahl co1 - dann hat 9 die Mächtigkeit,, oder eine Ordinalzahl aus 81 + 32 - dann ist 9 abzählbar. Damit ist Satz XV bewiesen.
1) ~ 2, Satz IV.