Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

328 Die Baireschen Funktionen.
Kap. III, ~ 6, Satz II ist G* punktweise unstetig, und mithin (Kap. III, ~ 4,
Satz III) bilden die Unstetigkeitsstellen von G* gleichfalls eine Menge erster
Kategorie k". Setzt man R ='+"- ", so ist auch a von erster Kategorie,
und es ist f auf - 3 stetig. Damit ist Satz VI bewiesen.
~ 3. Funktionen a-ter Ordnung.
Zufolge ihrer Definition sind die Baireschen Funktionen diejenigen, die aus den stetigen Funktionen durch iterierte Grenzübergänge entstehen. Wir wollen uns nun überzeugen, daß man sich
dabei auf monotone Grenzübergänge beschränken kann.
Wir wollen die Grenzfunktionen von monotonen Folgen auf 91
stetiger Funktionen {f,} als Funktionen erster Ordnung auf 2
bezeichnen; sie sind unterhalb stetig auf W, wenn {f,} monoton
wachsend (Kap. II, ~ 10, Satz II), dann nennen wir sie Funktionen G1; sie sind oberhalb stetig auf 21, wenn {f,} monoton
abnehmend, dann nennen wir sie Fun k tion e n g.
Nachdem so die Funktionen erster Ordnung, die Funktionen G1,
die Funktionen g1 definiert sind, definieren wir für jedes a der ersten
oder zweiten Zahlklasse die Funktionen a-ter Ordnung, die Funktionen Ga, die Funktionen g, durch Induktion. Wir nehmen an,
diese Begriffe seien schon definiert für alle ß < a, und zwar so,
daß die Funktionen Gß und gß zusammen die Funktionen ß-ter Ordnung bilden. Jede Funktion ß-ter Ordnung (B <a) heißt von
geringerer als a-ter Ordnung.
Und nun definieren wir: Die Grenzfunktionen von monotonen
Folgen {fL} von Funktionen geringerer als a-ter Ordnung heißen,
wenn sie nicht von geringerer als a-ter Ordnung sind, Funktionen
a-ter Ordnung; und zwar heißen sie-Funktionen G~, wenn {f~}
monoton wächst, Funktionen ga, wenn {f,} monoton abnimmt.
Ist f von a-ter oder geringerer Ordnung, so sagen wir, f sei
von höchstens a-ter Ordnung. Ist f eine Funktion Ga (g,) oder
von geringerer als a-ter Ordnung, so sagen wir, f sei höchstens
eine Funktion G, (ga).
Satz I. Die Gesamtheit aller Baireschen Funktionen
auf 9 ist identisch mit der Gesamtheit aller Funktionen
a-ter Ordnung auf 91 (für alle a der ersten und zweiten
Zahlklasse).
In der Tat, sei f eine Funktion cc-ter Ordnung; wir behaupten:
sie ist von höchstens a-ter Klasse. Die Behauptung ist richtig für
a= 1; denn die Funktionen erster Ordnung wurden definiert als
Grenzen stetiger Funktionen, d. h. sie sind von höchstens erster
Klasse. Angenommen, die Behauptung sei richtig für alle ao'<ca.