Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 2. Eigenschaften, die bei Grenzübergang erhalten bleiben. 327
Satz III. Jede Bairesche Funktion auf einer separablen, relativvollständigen Menge 91 ist punktweise unstetig auf 2 bei Vernachlässigung von Teilen erster Kategorie von 9f.
Aus Satz III entnehmen wir folgendes Beispiel einer nicht-Baireschen
Funktion1). Sei 92 eine separable, relativ-vollständige Menge, und sei eine Zerlegung
gegeben, derart, daß für jede offene Menge 3, für die 21 3 nicht leer ist, sowohl 9iX' als auch 9/"3 von zweiter Kategorie in 2S sei2). Setzen wir:
f= 1 auf 1', f=O0 auf 9'",
so ist f gewiß nicht punktweise unstetig auf W9 bei Vernachlässigung von Teilen
erster Kategorie von 21, und mithin keine Bairesche Funktion.
Da jeder abgeschlossene Teil einer separablen, relativ-vollständigen Menge
wieder separabel und vollständig ist, folgt aus Satz III unmittelbar:
Satz IV. Jede Bairesche Funktion auf einer separablen, relativvollständigen Menge 1 ist punktweise unstetig auf jedem abgeschlossenen Teile 1' von 21 bei Vernachlässigung von Teilen erster
Kategorie von 1'.
Ob es auch nicht-Bairesche Funktionen geben kann, denen die durch
Satz IV ausgesprochene Eigenschaft zukommt, scheint bisher nicht bekannt
zu sein.
Aus Satz III fließen unmittelbar zwei Folgerungen, die noch erwähnt
seien, und die wieder die sehr spezielle Natur der Baireschen Funktionen
deutlich hervortreten lassen:
Satz V. Zu jeder Baireschen Funktion f auf der separablen,
relativ-vollständigen Menge 21 gibt es eine auf 91 oberhalb stetige
und eine auf 9f unterhalb stetige Funktion, von deren jeder sich f
nur auf einem Teile erster Kategorie von 9 unterscheidet.
In der Tat, nach Kap. II, ~ 12, Satz V hat man, wenn g* und G* obere
und untere Schranke von f bei Vernachlässigung von Teilen erster Kategorie
bedeuten, überall auf 9C, abgesehen von einer Menge erster Kategorie:
(t) g*(a; f, 9) f(a) G*(a; f, 9).
Da nach Satz III f auf 91 punktweise unstetig ist bei Vernachlässigung von
Mengen erster Kategorie, ist (Kap. III, ~ 7, Satz XV) überall auf 21, abgesehen
von einer Menge erster Kategorie:
(tt) g*(a; f, ) = G*(a; f, 2).
Aus (t) und (tt) folgt, daß f sowohl mit g* als mit G* überall übereinstimmt,
abgesehen von einer Menge erster Kategorie, und da g * unterhalb, G* oberhalb stetig ist, so ist Satz V bewiesen.
Satz VI. Zu jeder Baireschen Funktion f auf der separablen,
relativ-vollständigen Menge 1 gibt es einen Teil R erster Kategorie
von 91, so daß f/auf 291 — stetig ist.
In der Tat, nach Satz V gibt es eine auf 91 oberhalb stetige Funktion G*,
von der sich f nur in einer Menge erster Kategorie g' unterscheidet. Nach
1) H. Lebesgue, a. a. 0., 186.
2) Über die Möglichkeit solcher Zerlegungen vgl. H. Lebesgue, Bull.
soc. math. 35 (1907), 207, 212. P. Mahlo, Leipz. Ber. 63 (1911), 346.