Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 1. Funktionen a-ter Klasse. 323
Klasse, und wegen (1) ist:
(2) fv —i f'_<i- 1 auf ganz f.
Es gibt also Funktionen gi,t von geringerer als a-ter Klasse, so daß:
(3) f.=limin; f-fr, - = lim gi,n
n 00= oo oo
und nach Satz IX kann wegen (2) auch angenommen werden:
(4) g, e |i< - (i = 2, 3,...).
Wir behaupten: dann ist
(5) f= lim (gx,, +- g,, + --.. + gn,n).
n = oo
In der Tat, ist e>0 beliebig gegeben, so gibt es, weil die
Summe der ei als endlich angenommen wurde, ein i, so daß:
(6) E,+e +.. < e.
Wegen (1) ist dann auch:
(7) \f-I fl <e auf ganz 2.
In jedem gegebenen Punkte von 2[ ist wegen (3):
(8) f,- (gi,n+ -g2,n+ -- ** gi,) < für fast alle n.
Wegen (4) und (6) ist aber:
(9) |(yi,n+-t. -- n,) - (gl,. + i,n) < 2 e für n i auf ganz 9.
Aus (7), (8), (9) aber folgt, daß im betrachteten Punkte:
f-(g,+ — *... + gn,)lj < 4e für fast alle n.
Also gilt tatsächlich (5) in jedem Punkte von 21. Da aber naoh
Satz VII (gi, n +... + g, n) von geringerer als a-ter Klasse, so besagt (5),
daß f von höchstens a-ter Klasse, und Satz X ist bewiesen.
Ist {f,} eine konvergente Folge von Funktionen geringerer als
a-ter Klasse, so ist nach Defihition die Grenzfunktion von höchstens
a-ter Klasse. Ist {f,} nicht konvergent, so kann immer noch nach
oberer (unterer) Schrankenfunktion, sowie nach oberer (unterer) Grenzfunktion von {f,} gefragt werden (Kap. IV, ~ 1, S. 231). Für diese
Funktionen gelten die Sätze:
Satz XI. Ist {f,} eine Folge von Funktionen geringerer
als cc-terKlasse, so ist die obere (untere) Schrankenfunktion F
von {fL} von höchstens a-ter Klasse.
In der Tat, ist F, der größte unter den v Funktionswerten f,
f,..., f,, so ist:
0y 021
21*