Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

322 Die Baireschen Funktionen.
unter den k Funktionswerten fl, f..., f1, so ist auch f von
höchstens a-ter Klasse.
In der Tat, man hat nur in Satz V unter F (x1, x,..., x,) den
größten (bzw. kleinsten) unter den k Werten x1, x,..., xk zu verstehen. Dann ist F stetig im rk, und Satz VIII ist bewiesen.
Wir heben noch folgenden Spezialfall von Satz VIII hervor:
Satz VIIIa. Ersetzt man bei einer Funktion a-ter Klasse
alle Werte <p durch p, alle Werte >q durch q, so entsteht eine Funktion höchstens a-ter Klasse.
In der Tat, versteht man in Satz VIII unter f1 die Funktion f,
unter f2 die Konstante p, so sieht man: Die Funktion g, die aus f
entsteht, indem man alle Werte <p durch p ersetzt, ist von höchstens
a-ter Klasse. Wendet man nochmals Satz VIII an, indem man unter f1
die Funktion g, unter f2 die Konstante q versteht, erhält man
Satz VIIIa.
Eine unmittelbare Folgerung aus Satz VIIIa besagt:
Satz IX. Genügt dieFunktion f a-ter Klasse der Ungleichung:
p ~ f< q,
so ist sie Grenzfunktion einer Folge {f,} den Ungleichungen
p f, < q
genügender Funktionen geringerer als a-ter Klasse.
In der Tat, zunächst ist f=-limg, wo jedes g, von geringerer
1' = 00
als a-ter Klasse. Ersetzen wir in g, alle Werte ~p durch p, alle
Werte q durch q, so entsteht nach Satz VIIIa eine Funktion f, geringerer als a-ter Klasse, und es ist offenbar auch f= lim f", womit
Satz IX bewiesen ist. =
Satz X. Die Grenzfunktion feiner auf % gleichmäßig konvergierenden Folge von Funktionen höchstens a-ter Klasse
ist von höchstens a-ter Klasse auf 91.
Auf Grund von Satz IV können wir beim Beweise {f~} als beschränkt annehmen. Sei {ei} eine Folge positiver Zahlen von endlicher Summe. Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von {f,}
gibt es dann ein i, so daß:
(1) I f-fv, < e auf ganz 91.
Wir können schreiben,
f= f>1 + (f2 - fr) + (f, - 2) + *.
In dieser Reihe ist nach Satz VII jedes Glied von höchstens a-ter