Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 1. Funktionen ac-ter Klasse. 321
-=lim f,,~ (i= 1, 2,..., k),
wo die fi, von geringerer als a-ter Klasse sind. Indem wir nötigenfalls die Schränkungstransformation ausüben, können wir alle f, als
endlich voraussetzen. Ist also F von 0-ter Klasse (d. h. stetig), so
ist nach Annahme F(fi,,, f2,,... fk,) von geringerer als a-ter Klasse.
Wegen der Stetigkeit von F aber ist:
F (f:, /2 )=limF(l.... f,)=) f,
d. h. es ist F(f1, f2,..., f) Grenzfunktion von Funktionen geringerer
als a-ter Klasse, und somit von höchstens a-ter Klasse. Damit ist
Satz V für -- 0 und alle a bewiesen.
Angenommen nun, der Satz sei richtig für ein gegebenes a und
alle ß'< ß. Ist F von ß/-ter Klasse, so ist
F= lim F",
== o00
wo F, von geringerer als /f-ter Klasse. Infolgedessen ist nach Annahme F, (fi, f2...,f) von geringerer als (a -/) -ter Klasse1), und
somit:
F(f, f2,..., fk)=lim F,,(f, f,..., f,)
v = 00
von höchstens (a -+ /) -ter Klasse. Damit ist Satz V bewiesen.
In Satz V sind nun als Spezialfälle enthalten die Sätze:
Satz VI. Ist f von a-ter Klasse, so ist I fl von höchstens
a-ter Klasse.
In der Tat, dies geht aus Satz V hervor, indem man setzt:
F (x) x xl und beachtet, daß x 1 stetig im 911 ist.
Satz VII. Sind f1 und f, von höchstens a-ter Klasse auf /f,
so ist jede der Verknüpfungen:
f_
fi + fh fi - f2 f; fi';
f2
von höchstens a-ter Klasse auf dem Teile 9f' von 9f, auf dem
sie ausführbar ist.
In der Tat, man hat nur in Satz V unter F eine der Funktionen
4 x - x, x x - zu verstehen und Satz III zu beachten.
Xi + X2, X1 — X2 > Xi' x2,
x2
Satz VIII. Seien f, f2,,..., f4 endlich viele Funktionen
höchstens a-ter Klasse. Ist f der größte (oder kleinste)
~) In der Tat, aus ß'<ß folgt ac+-i'<-ax +ßf; denn es ist '+l~ 1 f
und mithin
Ha+, T'(a + r)~ e ==ua+(+o 1)e a+ l.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 21