Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

320 Die Baireschen Funktionen.
Mächtigkeit ist also (Einl. ~ 4, Satz XV; ~ 7, Satz X) c < c = c.
Und da sie gewiß ~ c ist, so ist Satz I bewiesen.
Satz II. Auf einer separablen Menge X der Mächtigkeit c
gibt es Funktionen, die nicht Bairesche Funktionen sind.
In der Tat, die Menge aller Baireschen Funktionen auf 9f hat
nach Satz I die Mächtigkeit c, die Menge aller Funktionen auf f
aber hat die Mächtigkeit1): cc= 2C> c, womit Satz II bewiesen ist.
Aus der Definition der Funktionen a-ter Klasse folgt sofort:
Satz IIl. Ist die Funktion f von a-ter Klasse auf 2, so
ist sie von höchstens a-ter Klasse auf jedem Teile T von?.
Wir beweisen dies durch Induktion. Die Behauptung ist richtig
für a -— 0. Angenommen, sie sei richtig für alle a' < a. Nun ist
nach Definition
(00) f= - im f,
wo jedes fy von geringerer als a-ter Klasse auf X, und mithin nach
Annahme auch auf e. Also lehrt (00), daß f auch auf S von höchstens
a-ter Klasse, wie behauptet.
In ganz derselben Weise zeigt man durch Induktion:
Satz IV. Ist f von a-ter Klasse, so auch die aus f durch
die Schränkungstransformation entstehende Funktion (und
umgekehrt).
Wir beweisen noch einige einfache Sätze über Bairesche Funktionen, die Verallgemeinerungen bekannter Sätze über stetige Funktionen sind2).
Satz Y. Sind f1, f,..., f endliche3) Funktionen höchstens
a-ter Klasse auf 9f, und wird durch
X = fl, X — X f,.., X. = f
die Punktmenge 2t abgebildet auf einePunktmenge des 79,
auf der F(x1, x2,..., Xk) von ß-ter Klasse ist, so ist F(f1, f,...,f)
von höchstens (a+ —)-ter Klasse auf tW.
Der Satz ist richtig für a= 0, ß = 0, da er sich dann auf einen
Spezialfall von Kap. II, ~ 6, Satz VIII reduziert. Angenommen, er
sei richtig für f== 0 und alle a'< a. Weil die fi von höchstens
a-ter Klasse sind, haben wir:
1) Vgl. Kap. II, ~ 5, S. 134.
2) H. Lebesgue, a. a. 0. 153.
3) Ist die Funktion F(x, x2,..., xi) auch definiert, wenn einzelne ihrer
Veränderlichen unendliche Werte annehmen, so kann diese Einschränkung
wegbleiben.