Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 13. Die Borelschen Reihen. 315
Sei nun g irgendeine positive Zahl. Wir setzen:
ur' =g; Vv= - vrg m.
Indem wir an der Reihe der u,' ebenso argumentieren, wie vorhin an der
Reihe der ue, finden wir: In jedem Punkte x, der keinem der Intervalle
(- -vr',,-" v,') (-=1, 2,...) angehört, ist die Reihe (0) eigentlich konvergent.
Angenommen nun, die Reihe der vr sei eigentlich konvergent. Dann ist
auch (für jedes positive g) die Reihe der vo' eigentlich konvergent. Wir lassen
nun die Zahl g eine wachsende Folge {gk} mit lim gk= oo durchlaufen,
k= co
und bezeichnen die mit Hilfe der Zahl gk gebildete Intervallmenge ( v-vv',
"- + v') (v = 1, 2,...) mit 3k. Dann kann!3 auch aufgefaßt werden als Vereinigung abzählbar vieler zu je zweien fremder Intervalle, und es ist Zk+< ZSk.
Die Summe der Langen der (zu je zweien fremden) Intervalle von Zk bezeichnen
wir als den linearen Inhalt p (I3) von 3k:
00 1 CO
p (h) < 2 — 1'==2 gj E ZV.
— 1, '=-1
Infolgedessen ist:
lim A (vk)= O.
Man sagt deshalb, der Durchschnitt:
Z- =. -...... *l,k...
habe den linearen Inhalt 01), ebenso jeder Teil dieses Durchschnittes.
Da nun außerhalb ) die Reihe (0) überall eigentlich konvergiert, so sehen
wir: Ist Y'., eigentlich konvergent, so ist auch die Reihe (0) überall eigent1 =!
lieh konvergent, abgesehen von einer Menge des Inhaltes 0.
Nun war v, gegeben durch (00), worin die Uv irgendwelche positive
Zahlen von endlicher Summe waren. Wir können also immer dann 2) erreichen,; i
daß die Reihe der v. eigentlich konvergiert, wenn nur die Reihe Ai m +
v= 1
eigentlich konvergiert. In der Tat, wir haben dann nur zu setzen:
i1 1
u, =-m Am+, und somit: Vv,- A,, m+.
Wir haben also gezeigt:
Satz I. Sind die A, (= — 1, 2,...) positive Zahlen, für die
C 1
XAÄVn+l eigentlich konvergiert, und sind die mr positive Zahlen
1) Näheres über den Inhalt von Punktmengen in Kap. VI, ~ 8.
'2) Aber auch nur dann; denn aus der bekannten Cesaro-Hölderschen
Ungleichung (0. Hpl der, Gött. Nachr. 1899, 44) folgt, daß gleichzeitig mit Zuv
1 Vm 1
und v, aucoh zu. Miv ~,m+ 1 ZeA. + 1 eigentlich konvergiert.