Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 12. Verdichtung von Singularitäten. 311
eigneter Wahl der Koeffizienten Ak, die fragliche Singularität an
jeder Stelle %k aufweisen wird. Auch dieses Verfahren wurde näher
untersucht von U. Dinil). Wir werden weiterhin wiederholt von
diesem Verfahren Gebrauch machen; hier sei nur folgendes erwähnt:
Ist (p(y) eine beschränkte Funktion, die im Punkte y- 0 un00
stetig, sonst überall stetig ist, und ist lAk i eigentlich konvergent,
k=i
so ist die Reihe (0) eigentlich gleichmäßig konvergent. Nach
~ 3, Satz XIV ist also die durch sie dargestellte Funktion s(x) in
jedem von allen ek verschiedenen Punkte der x-Achse
stetig. Aus demselben Grunde stellt die aus der Reihe (0) durch
Weglassung des k-ten Gliedes entstehende Reihe eine auch im Punkte
Ek stetige Funktion dar, sodaß s(x) tatsächlich im Punkte e, eine
ebensolche (vom Gliede A,.g(x —k) herrührende) Unstetigkeit
aufweist, wie (y) im Nullpunkte. Je nachdem ob man für cp(y)
eine Funktion wählt, deren Unstetigkeit im Nullpunkte von erster
oder zweiter Art ist (Kap. III, ~ 6, S. 216) erhält man für s(x) eine
punktweise unstetige Funktion, deren sämtliche Unstetigkeiten von
erster bzw. zweiter Art sind.
Ein Beispiel findet sich bereits bei B. Riemann2). Es bedeute das
Symbol (x) die Funktion der Periode 1, die in [0,1] gegeben ist durch:
(x)==x in [0, ); ( )=0; (x)==x-Z in (i, 1,
und es werde betrachtet die unendliche Reihe:
(00)
(00) ~(x)0.= (v x)
Da die Reihe (00) eigentlich gleichmäßig konvergiert, kann ihre Summe
s (x) nur dort unstetig sein, wo mindestens einer ihrer Summanden unstetig
ist. Sie ist also überall stetig, ausgenommen die rationalen Punkte x == 2 m+.
Eine einfache Überlegung3) zeigt, daß sie in jedem dieser Punkte tatsächlich
unstetig ist (und zwar von erster Art, ebenso wie (x) im Punkte -).
Ein Seitenstick zu dem oben besprochenen Verdichtungsverfahren, wobei
aber statt unendlicher Rei h en unendliche Produkte verwendet werden, bildet
ein Verfahren von T. B r o d n4) zur analytischen Darstellung punktweise un1) U. Dini, a. a. 0. 188 ff. Man findet dort viele Beispiele.
2) B. Riemann, Habilitationsschr. 1854. Ges. Werke, 2. Aufl., 242.:) Diese ergänzende Überlegung ist hier deshalb nötig, weil bei diesem
Beispiele (ähnlich wie bei der Hankelschen Methode, und im Gegensatze
zur Cantorschen Methode) in dem Punkte x==+ —~- unendlich viele
Summanden von (00) unstetig sind.
4) T. Broden, Math. Ann. 51 (1899), 299.