Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

310 Funktionenfolgen.
druck herzuleiten, der dasselbe singuläre Verhalten in einer unendlichen Punktmenge aufweist.
Der erste, der sich allgemein mit dieser Aufgabe beschäftigte,
war H. Hankel1): Ist b (y) eine Funktion der reellen Veränderlichen y,
die etwa für y= 0 das singuläre Verhalten aufweist, so setzt er:
sv (x) = =z A f (sin knx); s (x)= lim s (x)z= Ak T (sin knx).
k= 1 t —t k-=1
Da 9 (sin k x) das singuläre Verhalten, das ja im Nullpunkte aufweist, in allen rationalen Punkten vom Nenner k aufweisen wird,
so laßt sich erwarten, daß, wenigstens bei geeigneter Wahl der
Koeffizienten ABC die Funktion s(x) dieses Verhalten in allen rationalen Punkten der x-Achse aufweisen wird. Inwiefern dies für gewisse einfache Singularitäten wirklich zutrifft, wurde von U. Dini2)
ausführlich behandelt.
Diese Hankeische Methode leidet aber, wie G. Cantor ausgeführt hat3), an folgenden Mängeln. Erstens weisen an einer rationalen Stelle x==s- unendlich viele Glieder der s(x) darstellenden
q
Reihe die fragliche Singularität auf (nämlich alle, deren Index k ein
Vielfaches von q ist), so daß es denkbar ist, daß diese Singularitäten sich gegenseitig zerstören4); zweitens werden-durch die Einführung des Sinus unnötige Komplikationen eingeführt, die mit dem
Wesen der Sache nichts zu tun haben; drittens ist die Menge der
Punkte, auf welche die fragliche Singularität übertragen wird, sehr
spezieller Natur. G. Cantor hat, einer Anregung von K. Weierstraß
folgend, das nachstehende, von diesen Mängeln freie Verfahren angegeben:
Es sei ek (k 1, 2,...) eine beliebige abzählbare Menge von
Punkten des 91), und es sei wieder p (y) eine Funktion, die an der
Stelle y 0 eine bestimmte Singularität aufweist. Bildet man dann
die Funktion:
(0
(0) S (x)= A, 9 (- — x ),,
k=l
so läßt sich erwarten, daß die Funktion s(x), wenigstens bei geH) H. H ank el, Gratulationsprogr. d. Tübinger Univ. 1870 Math. Ann. 20
(1882), 77= Ostw. Klass. Nr. 153, 61.
2) U. Dini, Grundl. f. e. Theorie d. Funkt. 157 ff.
3) G. Cantor, Literar. Centralbl. 1871, 150; Math. Ann. 19 (1882), 588.
4) Ein Beispiel hiefür: Ph. Gilbert, Bull. Ac. Belg. (2) 23 (1873), 428.
Vgl. auch G. Darboux, Ann. Ec. Norm. (2) 4 (1875), 58.
5) Die Übertragung auf mehrdimensionale Räume (Funktionen von mehreren
Veränderlichen) ist unmittelbar.