Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 11. Schranken- u. Grenzfunktionen einer Funktionenmenge. 307
Mithin wegen (0):
f(a)< f(a)+e- für n>no und fast alle / von e;
daher weiter nach Definition von f:
(0) f (aj)f (a) +e für n..
Andererseits ist, nach Definition von f:
f(a)> f(a) - - für unendlich viele / von ~;
und wegen (0) gilt für diese unendlich vielen f:
f (a,) > f (a) - für n.
Nach Definition von f ist also auch:
(~~ f (a)) f ~f(a) - für n > n.
Die Ungleichungen (0o) und (0Q0) besagen die behauptete Stetigkeit von f. Ebenso zeigt man die Stetigkeit der unteren Grenzfunktion, und Satz II ist bewiesen.
Satz III1). Sei die Punktmenge 91 kompakt und abgeschlossen2), und sei die Funktionenmenge - beschränkt
auf Q und gleichgradig stetig auf 1 in jedem Punkte von 9T.
Für jedes e>0 genügen dann (wenn f und f obere und
untere Grenzfunktion von H bedeuten) fast alle f von H
auf ganz % der Ungleichung:
f-E<f<f+e.
Angenommen in der Tat, dies wäre nicht der Fall. Dann gäbe
es ein e>0 und unendlich viele f, für die sei es die Ungleichung:
f<f+
sei es die Ungleichung:
f>nicht auf ganz gilt. Nehmen wir etwa ersteres a. Dann gib e
nicht auf ganz 91 gilt. Nehmen wir etwa ersteres an. Dann gibt es
eine Funktionenfolge {f4} in H, und eine Punktfolge {aC} in X, so daß:
(t) f, (a,) f(a,) +- für alle v.
Da 2 kompakt, gibt es in {aÖ} eine konvergente Teilfolge {ai},
deren Grenzpunkt a, weil [ abgeschlossen ist, zu 7I gehört.
1) P. Montel, a. a. 0. 262.
2) Diese Einschränkung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel
S. 304 Fußn. 1).
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