Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

304 Funktionenfolgen.
Folge {(b,~) rmit limba a. Sei e>0 beliebig gegeben. Wegen
der gleichgradigen Stetigkeit von a gibt es ein k, so daß für je
zwei Indizes v', v":
(tt f ) f() (b) - f("); (,) -- f(v") (a)l
Wegen der Konvergenz von {f(")(b",)} gibt es ein v, so daß:
(ttt) I fl') (b,, )- f(..) (b) |< 3 für v >_v, v v.o
Die Ungleichungen (tt), (t-i') zusammen aber ergeben:
f(V') (a)- f ") (a) |< e für '_, " v,
d.h. die behauptete Konvergenz von {f()(a)}.
Es ist also {f ()} konvergent in jedem Punkte von 2f, und
somit nach Satz II auch stetig konvergent auf I2 in jedem Punkte
von X1. Damit ist Satz IV bewiesen.
Nun erhalten wir sofort folgende Umkehrung von Satz III:
Satz V. Ist die Punktmenge 51 kompakt und abgeschlossen'), und ist die Funktionenmenge i gleichgradig
stetig auf S[ in jedem Punkte von St, so ist sie kompakt.
In der Tat, nach Kap. I, ~ 7, Satz IV ist 52 separabel, nach
Satz IV gibt es also in jeder Folge {f4} aus eine Teilfolge {f()},
die in jedem Punkte a von 2 stetig und mithin (~ 3, Satz II) auch
gleichmäßig auf 52 konvergiert. Nach ~ 3, Satz XIII konvergiert
dann {f()} auch gleichmäßig auf s2, und Satz V ist bewiesen.
Satz II ist Spezialfall des Satzes:
Satz VIP). Ist H eine Menge von Funktionen, die stetig sind
in a auf gf, so ist für die gleichgradige Stetigkeit von: in a auf 2
notwendig und hinreichend, daß jede Folge {fr} aus V stetig oszilliere in a auf 2.
Die Bedingung ist notwendig: Sei in der Tat E gleichgradig stetig
in c auf 91, und sei {f,} eine Folge aus S2. Wir setzen:
f ihn f,.
Ist s > 0 beliebig gegeben, so gibt es ein vt, so daß:
(l) f, (a) < f(a)-1- für v >,.
1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel im aS:
Sei f-=0 in (-oo, v-l] und [v-+1l, +-0), f,(v)=l und f, linear
in [v-1, v] und [v, v + 1]. Dann ist die Menge der f, gleichgradig stetig
in jedei Punkte des 9E, es gibt aber in {Of} keine im 91 gleichmäßig konvergente Teilfolge.
2) Vgl. W. H. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 356.