Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen. 299
und die Konvergenz von f(b, c) gegen l(b) sei gleichmäßig
für alle b. Dann hat f(b, c) in (bo, co) auf i3X einen Grenzwert 1, der gleich ist jedem der Werte:
lim (lim f(b, c))== lim (lim f (b, c)).
b =bo c =o c =co b= o
An Stelle von Satz IV tritt hier der Satz:
Satz IX. Existiert für die beschränkte Funktion f(b, c)
der Grenzwert:
(40) lim (him f(b, c)),
C-Co b0=bo
so ist für die Gültigkeit der Formel:
lim (lim f(b, c))= lim (lim f(b, c))
b —boc=co:==Co b —bo
notwendig und hinreichend, daß die beiden Bedingungen
bestehen:
1. Es ist:
linr (lim f (b, c)-lim f(b, c)) 0;
b —bo co c-CO
(41)
lim (lim f(b, c) lim f (b, c))= 0.
C=Co b=b&o bbo
2. Zu jedem e>0 gibt es in jeder reduzierten Umgebung U'(co) von co in -'ein c*, und dazu eine reduzierte
Umgebung U'(bo) von bo in 03, so daß:
lim f(b, c)- e < f(b, c*)< lim f(b, c)+ e auf 1' (bo).
Die Bedingung ist notwendig. Dies ist schon in Satz VI
enthalten.
Die Bedingung ist hinreichend. In der Tat, da die Existenz
des Grenzwertes (40) ausdrücklich vorausgesetzt wurde, gilt hier
Ungleichung (30) in einer reduzierten Umgebung U'(co) von co in Q.
Vo ii Ungleichung (30) an aber kann der Beweis von Satz VI wörtich wiederholt werden.
Satz X. Genügt die beschränkte Funktion f(b, c) den
Be dingungen 1. und 2. von Satz IX, so existiert der Grenzwer t:
(42) lim (lim f(b, c)).
b=bo c-o
In' der Tat, aus den beiden Bedingungen 1. und 2. folgert man:
In jeder reduzierten Umgebung U'-(Co) von cd in ( gibt es ein c*