Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die, Urdi1nil:.;. 19
91 und 3 ähnlich, so ist a= B. Ist 1 ähnlich einem Abschnitte
von 3, so schreiben wir:
a ~< oder > >a.
Von den drei Relationen a=, a, a, a< ß trifft dann stets
eine und nur eine zu, und aus a</ß, fß<r folgt a <y.
Wir sagen, eine Menge von Ordinalzahlen sei in natürlicher
Anordnung (Reihenfolge), falls:
a vor ß wenn a <.
Satz VIII. Ist a eine Ordinalzahl, so ist die Menge
aller Ordinalzahlen /ß<a in natürlicher Reihenfolge wohlgeordnet und hat den Ordnungstypus c.
Sei in der Tat 91 eine Menge vom Ordnungstypus a, und sei 3
die Menge aller Ordinalzahlen ß<~a. Zufolge der Definition der
Relation < a gibt es dann zu jedem ß aus 3 ein, und nach
Satz VI nur ein Element a in 91, so daß der Abschnitt 91 den Ordnungstypus ß hat. Ordnen wir jeder Zahl ß aus 9 dieses Element a
aus 9 zu, so ist dies eine ähnliche Abbildung von 9 und e3, und
Satz VIII ist bewiesen.
Satz VIII besagt, daß die (endlichen und transfiniten) Ordinalzahlen ebenso zum "Numerieren" der Elemente einer wohlgeordneten Mehge verwendet werden können, wie die endlichen Ordinalzahlen zum Numerieren der Elemente einer endlichen Menge. Ist
in der Tat 91 eine wohlgeordnete Menge vom Typus a, so lehrt
Satz VIII, daß es eine ähnliche Abbildung von 91 auf die Menge
aller Ordinalzahlen < a gibt; d. h. die Elemente von 91 können bezeichnet werden mit aß, wo ß alle Ordinalzahlen < a durchläuft,
und es ist:
aßvor ag,, wenn ß < ß'.
Satz IX. Zu jeder Ordinalzahl a gibt es eine unmittelbar folgende; es ist die Ordinalzahl acc+l.
In der Tat, die Menge 91 aller Ordinalzahlen < a hat in natürlicher Reihenfolge den Ordnungstypus a; daher hat, nach Definition
der Summe von Ordnungstypen (~ 3, S. 13), die Menge 91' aller Ordinalzahlen a in natürlicher Reihenfolge den Ordnungstypus a 1,
und da 91 ein Abschnitt von W1' ist, so ist
a<a+ l.
Ist ferner ß irgendeine Ordinalzahl < a - 1, so gibt es in 91'
einen Abschnitt vom Ordnungstypus ß; ein Abschnitt von 1' ist aber
entweder 91 oder ein Abschnitt von 91, d. h. es ist entweder ß =a
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