Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

298 Funktionenfolgen.
Infolgedessen ist für alle b aus U' (b):
(37) |lim (bc)-Z|<-2, |limf(bc) —l<
c=cO 2 2'
C —o - - C
also:
lim f(b, c) -lim f(b, c) I<e,
cs=Co Coco
womit die erste Gleichung (34) nachgewiesen ist. Ebenso beweist
man die zweite.
Aus (36) und (37) folgt aber auch (35).
Die Bedingungen sind hinreichend. In der Tat, sind sie erfüllt, so lehrt zunächst Satz VI das Bestehen des Grenzwertes:
(38) = lim (lim f(b, c)) — lim (lim f(b, q)).
bc=bo c=co C-=o b bo
Es kann also die in Bedingung 2. auftretende Umgebung I' (bo) von bo
in S3 so angenommen werden, daß für alle b* aus U'(bo):
(39) 1 - e <lim f (b*, c) <lim f(b*, c)<l + e.
C —CO C=Co
Aus (35) und (39) aber folgt dann für alle b* aus U'(bo) und alle
c* aus U'(co):
1 - 2 e < f(b*, c*) < + 2 e,
d. h. es hat f(b, c) in (bo, co) auf X>< den Grenzwert 1, womit
Satz VII bewiesen ist.
Wir heben auch hier den dem Satz III entsprechenden Spezialfall von Satz VII hervor:
Existiert für jedes b aus 8 der Grenzwert
l(b)=lim f(b, c),
C= —CO
so wollen wir sagen: es konvergiert f(b, c) für c —>c0 gleichmäßig für alle b von n3 gegen 1(b), wenn es zu jedem e>0 eine
reduzierte Umgebung Ul(co) von co in ( gibt, so daß:
f(b, c)-l(b) <e für alle c von 1U(co) und alle b von B3.
Dann folgt aus Satz VII bei Beachtung von (38):
Satz VIII. Sei bo Punkt von 23~0-S und co Punkt von
(~ - (; für alle b von 5 existiere der Grenzwert:
l(b)= lim f(b, c),
C=CO
und für alle c von d: existiere der Grenzwert:
m (c)-lim f(b, c),
b=bo