Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen. 293
völlig gleichbedeutend mit den beiden Beziehungen:
lim x =- x; lim y, =y.
n = s- = Co
Ist nun 9 eine Punktmenge aus ( und (E eine Punktmenge
aus S, sind b und c die Punkte von s3 bzw. von (E, so können
wir die aus allen Paaren (b, c) bestehende Verbindungsmenge Q3 X f(
bilden. Sie ist eine Punktmenge des Verbindungsraumes. Sei nun
eine Funktion auf 53 X fg gegeben. Wir können sie bezeichnen mit
f(b, c). Für jedes feste c aus ( ergibt sie eine auf 53 definierte
Funktion von b, für jedes feste b aus 5 eine auf 2 definierte
Funktion von c; wir wollen diese beiden Funktionen bezeichnen mit
ft(b) und f (c).
In jedem Punkte bo von 23' können wir dann die beiden reduzierten Schrankenfunktionen G'(bo; f, 93), g'(bo; f, 93) auf 3 von f (b)
bilden. Sind sie einander gleich, d. h. (Kap. II, ~ 11, S. 1.70) hat f,
in bo einen Grenzwert auf 93, so schreiben wir kurz ):
lim f(b, c) G' (bo; fc, 3) -g' (bo; fc, 93),
b =bo
und in Anlehnung an diese Schreibweise setzen wir allgemein:
lim f(b, c) G'(bo; f0, 3); lim f(b, c)== (bo; f, 8).
b= -bo b bo
In ganz analoger Weise werden die Symbole definiert:
lini f(b, c); lim f(b, c); lim f(b, c).
c= c c=co c=co
Jeder der Ausdrücke:
lim f(b, c), lim f(b, c)
b —bo b bo
ist nun eine auf ( definierte Funktion von c, für die reduzierte
obere und untere Schranke in co auf (E gebildet werden können;
wir bezeichnen diese reduzierten Schranken mit:
(*) lim (lim f(b, c)); limni(in f(b, c)); lim (lim f(b, c)); lim(imm f(b, c)).
C=Co B bo c-=Co bI=b c= Bo bc=o C=Co b-bo
Offenbar ist:
lim (lim f(b,c)) lim (lim f (b, c)).
c-coo bo = b=-bo
Sind hierin beide Seiten gleich, so haben alle vier Ausdrücke (*)
1) Allgemein bedeutet im folgenden das Symbol lim: "Grenzwert in bo
auf S"; ebenso lim:,Grenzwert in co auf i". b=bo
c= co