Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

292 Funktionenfolgen.
Satz V. Ist {anz} eine beschränkte Doppelfolge reeller
Zahlen, für die die Grenzwerte (1) und (2) von Satz I existieren, und gibt es zu jedem e>0 und zu jedem mo ein
no und ein m*>no, so daß (17) gilt, so existiert der Grenzwert:
lim (lim an).
In der Tat, wegen (17) gibt es ein m* und ein no, so daß:
(18) a1 t[< < 3; |I C - < für n'> n >n.
3 O<
Wegen der Existenz des Grenzwertes (2) aber kann %n auch so groß
angenommen werden, daß:
(19) - a, < für n' n0 n"
Aus (18) und (19) aber folgt:
an, - anf < e für n' >no, n" n
und somit die Existenz von lim an. Damit ist Satz V bewiesen.
n = X'
Die vorstehenden Sätze über Vertauschung von Grenzübergängen
bei Doppelfolgen sind Spezialfälle viel allgemeinerer Sätze über Vertauschung von Grenzübergängen bei Funktionen von Punkten zweier
metrischer Räume.
Seien ( und Z zwei metrische Räume. Mit x bezeichnen wir
die Punkte von ~, mit y die von $. Wir definieren dann als den
~Verbindungsraum":
die Menge aller Paare (x, y). Wir denken uns i zu einem metrischen
Raum gemacht durch eine geeignete Abstandsdefinition1), die wir nur
den Beschränkungen unterwerfen:
r (x, y),(x', y'))_ r (x,, '); {(xy),(z;?)) ^(YW);
r ((x, y), (x', y)) - r (x, '); r ((x, y), (x, y')) = r (y, y');
'((x, y), (x', y~))- r (x, x'); r(~x, y), (x,y' (y, yO
Aus der Dreiecksungleichung folgt dann
r ((x, y), (x', y')) < r (X, x') + r (y, y').
Es ist also die Beziehung:
lirn (x., y")= (x, y)
) Eine solche ist z. B. gegeben = duch die Festsetzung
1) Eine solche ist z. B. gegeben durch die Festsetzung:
r ~{x, y), (x', )) == V ^l( r (x, x')' +r (y,