Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergangen. 291
ziehung (1), und gilt bei beliebigem e> 0:
la-a, <e für fast alle m und alle n,
so heißt die Konvergenz von ai gegen agleichmäßig in n. Und
wir erhalten als Spezialfall von Satz II:
Satz III. Gelten für {a} die Voraussetzungen von Satz I,
und ist die Konvergenz von an gegen a, gleichmäßig in n,
so ist:
lim (lin a) = lim (lim a) == lim an.,1n "oo n = n=oo no i = om=o,n==oo
So wie Satz X von ~ 3 enthalten ist in Satz II, so erweist sich
nun Satz II von ~ 8 als Spezialfall des Satzes:
Satz IV. Sei {am} eine beschränkte Doppelfolge reeller
Zahlen, für die die Grenzwerte (1) und (2) von Satz I und
ferner der Grenzwert')
(16) lim a(l (lim a,())
*nI = oo m =t cX n == oo
existiert. Dann ist für die Gültigkeit der Formel (3) von,Satz I notwendig und hinreichend, daß es zu jedem e>0
und zu jedem Index mo einen Index no und ein m*~mo gebe,
so daß:
(17) la -a, <<e für n>no.
Die Bedingung ist notwendig; dies ist schon in Satz I enthalten.
Die Bedingung ist hinreichend. Nehmen wir sie in der Tat
als erfüllt an. Bezeichnen wir wieder den Grenzwert (16) mit a, so
gibt es ein mt, so daß:
lam_-a <e für m> n.
Ist dann m* ein Index mno, für den (17) gilt, so haben wir
wieder die Ungleichungen (8), (9), (10) von Satz I, aus denen die
Behauptung folgt.
Setzen wir die Existenz des Grenzwertes (16) nicht mehr voraus,
so können wir nur mehr behaupten:
1) Zum Unterschiede von Satz I kann hier die Existenz dieses Grenzwertes
nicht gefolgert, sondern muß eigens vorausgesetzt werden. Beispiel: Sei
für gerades m: a` = 0- für alle n,
für ungerades m: an=1 für n
n } 1 für n > m.
Hier ist lim (lim am) Ö-ä, während der Grenzwert (16) nicht existiert.
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