Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 9. Vertauschung von Grenzübergängen. 289
gegeben ist, zu fast allen m einen Index n, gebe, so daß:
(4) a _-anl<e für n>n,.
Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, es
gelte (3), d. h. es sei:
(5) lim all = lim an a.
m_ = 0o n = oo
Dann gibt es ein min, so daß:
ait - a < e für m mo;
wegen (2) und (5) gibt es daher auch zu jedem mn>mo ein nm, so
daß (4) gilt, und die Behauptung ist bewiesen.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie
sei erfüllt. Es gibt dann ein mN, so daß für m rm (4) gilt. Also
wenn m' m, nm" m0:
(6) am'-a l -< für n>nm'; aan -,an <- für Nnlrm".
Wegen (2) gibt es nun ein n(~(>_n und fm",), so daß:
4 n 4"
(7) 7-ca^|< _; am-am <4
Aus (6) und (7) aber folgt:
am' -a "l < E für m'm, m" mo.
Es existiert also der Grenzwert:
lim ham - a.
Es gibt daher ein m*, für das einerseits (4) gilt, d. h.
(8) an — an < e für fast alle n,
und für das andrerseits:
(9) am* -a I< e.
Wegen (2) ist ferner
(10) am*- - 1 <*< e für fast alle n.
Aus (8), (9), (10) aber folgt:
la,-a1<3e' für fast alle n,
d. h.: lim a, = a.
n z= co
Damit aber ist (3) nachgewiesen, und der Beweis von Satz I beendet.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 19