Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

286 Funktionenfolgen.
Satz VII. Konvergiert die Folge {f~} auf fl stetiger')
Funktionen quasi-gleichmäßig auf 91, so konvergiert sie
einfach-gleichmäßig auf 9I in jedem Punkte von 9W.
Es genügt, den Beweis für beschränkte Folgen {f,} zu führen.
Sei a ein Punkt von 91, {aj} eine Punktfolge aus 9. mit lima =-a,
fl = 00
und sei ~>0 beliebig gegeben. Wegen der Konvergenz von {fv(a)}
gibt es ein v, so daß:
(0) I f(a) - f, (a) < für ' > r, v)>.
2 - -0
Wegen der quasi-gleichmäßigen Konvergenz von {f } gibt es ein
vo' >V so daß in jedem Punkte von 91 mindestens eine der Ungleichungen erfüllt ist:
(00) |f -f I< < o <v.
2' 0=
Wegen der Stetigkeit der f4 folgt aus (0): Es gibt ein ni, so daß:
(000) |f,,,(a,)- ( f,(a)|<1 für rV O'< <to'; o <"< 0;n n0.
Ist nun v* ein beliebiger Index vov <v o', und v ein Index
v v" <v ', für den (00) im Punkte a" erfüllt ist, so haben wir
aus (00) und (000):
I f (a) - f(aj) [ < 2- f*,(aa,) - fW (az) | < 2
und mithin:
l f*(a,)- f(aG ) < e fir n ii no
d. h. {f,} konvergiert einfach-gleichmäßig in a auf T9, wie behauptet.
Satz VIII. Ist 9 kompakt, und konvergiert die Folge {f,}
einfach-gleichmä-ßig auf 91 gegen f in jedem Punkte von 1~,
so konvergiert sie quasi-gleichmäßig auf 9 gegen f.
Wir können beim Beweise wieder {f4} als beschränkt voraussetzen. Angenommen, {f4 } konvergiere nicht quasi-gleichmäßig gegen f
auf 9S. Dann gibt es ein e > 0, eine Folge {ca} aus 91 und
einen Index v%, so daß:
(~O0) f (a") - f(a) ~ > E für vO v < v v + +n.
1) Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei '[
der E9, und sei:
f2r —=l1 in (O, ), sonst =0; f2 = 1 in ( —,0), sonst -0.
Dann konvergiert {f,} quasi-gleichmäßig gegen 0, aber die Konvergenz ist
nicht einfach-gleichmäßig im Punkte 0.