Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

284 Funktionenfolgen.
Satz III. Ist die monotone Folge {/;,} einfach-gleichmäßig konvergent in a auf 9f, so ist sie auch gleichmäßig
konvergent in a auf 9f.
In der Tat, wir können wieder annehmen, f sei beschränkt.
Wegen der einfach-gleichmäßigen Konvergenz gibt es zu jeder Folge
{a,} aus If mit limalz a, jedem e 0 und jedem vr ein v*>Vo
und ein 20o, so daß (wenn wieder lin f - f gesetzt wird):
3p = CO
(*) f,, *(a,)- f(a,,) < für ni > 0.
Wegen der Monotonie von {fi} ist aber:
ifi(a)j- f(a) <| f*( (a) - f(a,) für, v*.
Also folgt aus (*):
| (aj -( - f() 1 < e für n > z, v > v.
Nach ~ 3, Satz VIII ist damit die gleichmäßige Konvergenz von
{f,} in a auf 2f nachgewiesen.
Satz II und III ergeben'):
Satz IV2). Ist die Folge {/} monoton, und sind alle f,, stetig
in a auf 9/, so ist, damit auch die Grenzfunktion von {f,}
stetig in a auf If sei, notwendig und hinreichend, daß {f,}
gleichmäßig in a auf- l konvergiere.
Nachdem wir bisher einfach-gleichmäßige Konvergenz in einem Punkte
betrachtet haben, definieren wir nun3): Die Folge {f } konvergiert eigentlich
einfach-gleichmäßig auf 9? gegen f, wenn es zu jedem e > 0 und jedem 1,
mindestens ein v*>v0 gibt, so daß:
if'*-f < auf ganz 92.
Die Folge {f,} heißt einfach-gleichmäßig konvergent auf 9f, wenn die
aus ihr durch die Schränkungstransformätion entstehende Folge eigentlich einfach-gleichmäßig auf 9 konvergiert.
Offenbar ist jede auf E% einfach-gleichmäßig-konvergente Folge auch einfach
gleichmäßig konvergent auf 91 in jedem Punkte von 92. Im Gegensatze zu ~ 3,
Satz XIII gilt die Umkehrung hiervon nicht. Es kann also zwar aus Satz II
unmittelbar geschlossen werden:
Satz V. Konvergiert die Folge {f,} auf 51 stetiger Funktionen
einfach-gleichmäßig auf 5 gegen f, so ist auch f stetig auf?.
1) Dies folgt übrigens auch aus ~ 2, Satz XI und ~ 3, Satz II einerseits,
~ 3, Satz X andrerseits.
2) U. Dini, Grundlagen f. eine Theorie d. Funktionen (1892) 148. -
P. Montel, Ann. Ec. Norm. 24.(1907), 263. - C. A. Dell'Agnola, Atti
Ven. 70 (1910/11), 383.
8) U. Dini, a. a. O.