Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 8. Einfach-gleichmäßige u. quasi-gleichmäßige Konvergenz, 283
Satz II1). Ist die Folge {f;} konvergent auf 92, und sind
alle f;, stetig in a auf 9f, so ist, damit auch die Grenzfunktion f von {f,} stetig in a auf %9 sei, notwendig und
hinreichend, daß {f"} einfach-gleichmäßig in a auf 9 gegen
f konvergiere.
Vermöge der Schränkungstransformation können wir beim Beweise annehmen, f sei beschränkt.
Die Bedingung ist notwendig. Angenommen in der Tat, f sei
stetig in a auf 9. Ist e > 0 sowie der Index v0 beliebig gegeben, so
gibt es wegen der Konvergenz von { f} gegen f ein v* vO, so daß:
(00) I f,*(a) - f((a) < e.
Ist {a"} eine Punktfolge aus S1 mit lima =a, so folgt aus (00),
wegen der Stetigkeit von f und fy,*: n=
l f*,(a)- -f(a,) < e fiür fast alle n.
Dies ist aber gleichbedeutend mit (0), d. h. {f,} ist einfach-gleichmäßig konvergent in a auf 91, wie behauptet.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, sie
sei erfüllt. Sei e>0 beliebig gegeben und {a"} eine Punktfolge aus
91 mit lima, =a. Wegen der Konvergenz von {f,} gibt es ein vo,
so daß:
(t0) j~f,(a)-f(a) < f für Y>vO.
Wegen der einfach gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein v *>o,
so daß:
(tt) 1;(a,) - f(a) | < für fast alle n.
Wegen der Stetigkeit von f,,* ist:
(t1t) fv*(a") *(a) < für fast alle n.
Wegen (t) ist insbesondere:
(+t+) ' f*(a) f(a) <3
Aus (tt), (ttt), (-it) aber folgt:
f(a ()- f(a) < für fast alle n.
D. h. f ist stetig in a auf 91. Damit ist Satz II bewiesen.
1) Vgl. hierzu E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable
(1907), 489. - C. A. Dell' Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10), 1098. - F. Hausdorff, Grundzüge d. Mengenlehre (1914), 386. - Satz II ist, ebenso wie die
folgenden Sätze dieses Paragraphen, ein allgemeiner Grenzsatz.