Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 8. Einfach-gleichmäßige u. quasi-gleichmäßige Konvergenz. 281
von ~ 6 lehren; ein besonders einfaches Beispiel liefert nachstehende
Folge von Funktionen {f,} einer reellen Veränderlichen: Sei fV 0
in (-o, 0], und in L, + — ); fv () 1 und f, linear in 0o,
und in F, 2] (Fig. 6, S. 244). Dann ist überall im 9:
lim f -=0,
V = 00
die Konvergenz aber ist ungleichmäßig im Punkte 0.
Wir geben noch. ein Beispiel einer Folge {f,} stetiger Funktionen einer
reellen Veränderlichen, die überall im 91 gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert, während die Konvergenz ungleichmäßig ist in einer im 91 dichten
Punktmenge 1). Sei 0, (v = 0, 1, 2,...) die Menge aller Punkte (i= 0, + 1,
+2,...) des 9i. Die Funktion f sei linear in jedem Intervalle Li, i T-, und..
0 l 8 2 8 Öl 8
Fig. 14.
ihre Werte in den Punkten von S3 seien gegeben durch die Vorschrift (Fig. 14):
f ==0 auf eSv1; gehört a zu S3, - _, so ist f,(a)-, wennwenigstens
einer der beiden Nachbarpunkte von a in 3,_i zu 33, aber keiner zu _gehört. Dann ist überall im 91: lim f =- 0, die Konvergenz aber ist ungleich1' = 00
mäßig in jedem Punkte von S3, + -2....-, -...
Wir wollen nun Bedingungen aufstellen, die gleichzeitig notwendig und hinreichend sind, damit aus der Stetigkeit der
Funktionen einer konvergenten Folge {f4} auch die Stetigkeit der
Grenzfunktion folge.
Anknüpfend an die in ~ 3, Satz VIII gegebene Formulierung
des Begriffes der gleichmäßigen Konvergenz in einem Punkte definaturw. Ges. Innsbruck 5 (1875), 31. Die ersten, die durch Beispiele das
Gegenteil zeigten, waren: G. Darboux, Ann. Ec. Norm. (2) 4 (1875), 79.
P. du Bois-Reymond, Münch. Abh. 12 (1875), 119. G. Cantor, Math. Ann.
16 (1880), 268.
1) Ein anderes Beispiel: W. F. Osgood, Am. Bull. (2) 3 (1896), 69. Allgemein wurde diese Frage bereits in ~ 6, Satz VI behandelt.