Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. 17
Satz V. Eine wohlgeordnete Menge ist nicht ähnlich
einem ihrer Abschnitte.
In der Tat, gäbe es eine ähnliche Abbildung A von X auf den
Abschnitt 2a, so müßte durch A das Element a abgebildet werden
auf ein Element a' von 9Sa. Es wäre also:
af vor a,
entgegen Satz IV. Damit ist Satz V bewiesen. - Es folgt aus ihm
unmittelbar:
Satz VI. Zwei verschiedene Abschnitte einer wohlgeordneten Menge sind nicht ähnlich.
Seien in der Tat a, a' zwei verschiedene Elemente der wohlgeordneten Menge 91, etwa:
a vor a'.
Dann ist 2. gleichzeitig Abschnitt der wohlgeordneten Menge g',
und aus Satz V folgt die Behauptung.
Satz VII. Sind 91 und S3 zwei wohlgeordnete Mengen,
so trifft stets eine und nur eine der drei folgenden Möglichkeiten zu: 1. Sf und O3 sind ähnlich; 2. 1f und ein Abschnitt von 3 sind ähnlich; 3. 23 und ein Abschnitt von 91
sind ähnlich.
Zum Beweise gehen wir davon aus, daß folgende vier Fälle
eine vollständige Disjunktion bilden:
1. Fall: Zu jedem Abschnitte 9a gibt es einen ähnlichen O3, und
umgekehrt.
2. Fall: Zu jedem Abschnitte 9a gibt es einen ähnlichen 3b,
aber nicht umgekehrt.
3. Fall: Zu jedem Abschnitte eb gibt es einen ähnlichen 2,,
aber nicht umgekehrt.
4. Fall: Es gibt weder zu jedem Abschnitte 291 einen ähnlichen
13b, noch zu jedem Abschnitte Ob, einen ähnlichen 91~.
Da es nach Satz VI zu jedem Abschnitte 91a nur einen ähnlichen 23b geben kann, erhalten wir im 1. Falle eine umkehrbar eindeutige Abbildung A von 91 und 23, indem wir jedem Elemente a
von 91 dasjenige Element b von B3 zuordnen, für das 91, und 3b
ähnlich werden. Diese Abbildung A ist auch ähnlich, denn seien
a, b und a', b' einander vermöge A entsprechende Elemente von 91
und 23, und sei:
(*) a' vor a.
Zwischen 9a und 2b gibt es eine ähnliche Abbildung B. Wegen (*)
wird 91l, durch B auf einen Abschnitt 3b" von 3,b abgebildet:
(**) -b" vor b.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 2