Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

278 Funktionenfolgen.
ist also auch:
(tt) F(a; {f,}, ß) > fk,(a) für fast alle k.
Bezeichnen wir mit 8 den Teil von 21, auf dem (t) gilt, mit 9k den Teil
von K9, auf dem (tt) gilt, so ist demnach:
(ttt) 23- = Be + * *... + 223, +...
Wir beweisen zunächst, daß jede Menge 5u, von erster Kategorie
in -f ist.
Bezeichnen wir mit fl7 ki + den größten unter den 1+-1 Funktionswerten
fk, fk +1 *' fk+- l so ist fk;k+- unterhalb stetig auf 1 (Kap. II, ~ 8, Satz IX).
Nun ist aber (Einleitung ~ 6, Satz VI):
fk —lim fic, k-; fkC,k+ <- fk, k-+l
also ist nach Kap. II, ~ 10, Satz I, auch lf unterhalb stetig auf 92. Da aber
(~ 1, Satz IX) r(a; {f,}, 2) oberhalb stetig auf fist, so ist (Kap. II, ~8, SatzVI,VII):
F(a; {f,}, 2) - fk(a) oberhalb stetig auf 91. Infolgedessen ist die Menge
k, aller Punkte von 91, in denen:
(\P r) r(a; {(f"}, )- f1c() > it X
abgeschlossen in 91 (Kap. II, ~ 9, Satz IV).
Daraus folgern wir weiter, daß 3k,, nirgends dicht in 9f. Denn
andernfalls gäbe es eine in 1 offene Menge 2S', in der 3k, E dicht ist, und da
k, n abgeschlossen in -1, wäre:
''< ek,.
In jedem Punkte von 9' wirde also (i ) gelten, und mithin auch:
1
(t.~) Fr(a; { vJ, 9)> f (a) + - für alle > k.
n
Nach ~ 1, Satz VII aber gibt es zu jedem Punkt a' von 91' eine Punktfolge
{a1} in 92 und eine Indizesfolge {v }, so daß:
(_) lim a0=- a ll imlim =+oo; l f, (ai) - F=(a', {f,}, 2).
I — o i- - Go it i
Da 9W' offen in 91, gehören fast alle at zu 91'; fast alle vi sind > k, es ist
also wegen (t)
r(a,; {f,,}3 51)~,i(1.)+ - für fast alle i,
mithin wegen () durch den Grenzübergang i —> o:
lim r(a,; {ft,},:) > F(a'; {Lf}, 5[) +1
entgegen der Tatsache, daß F(a; {f,}, W) oberhalb stetig auf 91. Damit ist
bewiesen, daß 3k n nirgends dicht in 91 ist.