Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 7. Punktweise ungleichmäßige Konvergenz. 275
(,) v(a; {f 2)> q
ist, nirgends dicht in 9W.
Satz II. Ist die auf 9f konvergente Folge {f}, punktweise ungleichmäßig konvergent auf 9f, so ist die Menge
aller ihrer Punkte ungleichmäßiger Konvergenz von erster
Kategorie in 9.
Satz III. Ist {f,} konvergent auf der relativ-vollständigen Menge 9/, und ist für jedes q>O die Menge aller
Punkte, in denen (*) gilt, von erster Kategorie in 91, so ist
{f,} punktweise ungleichmäßig konvergent auf 9.
Vergleichen wir in ~ 6 Satz IV einerseits mit den Sätzen V nnd VI
andererseits, so sehen wir, daß die total-ungleichmäßig konvergente
Folge {f,} von Satz IV aus total-unstetigen Funktionen besteht,
während die Folgen {f"} der Sätze V und VI aus stetigen Funktionen
bestehen. Es erhebt sich daher die Frage: Gibt es total-ungleichmäßig
konvergente Folgen stetiger Funktionen? Diesbezüglich gilt:
Satz IV1). Ist w 9 relativ-vollständig2), so ist jede konvergente Folge {f,} auf S9 stetiger Funktionen punktweise
ungleichmäßig konvergent auf 1.
1) Dieser Satz wurde (unter der einschränkenden Voraussetzung, lim f sei
stetig) zuerst bewiesen von W. F. Osgood, Am. Journ. 19 (1897), 155, sodann
(ohne diese Einschränkung) von W. H. Young, Lond. Proc. (2) 1 (1904), 89.
Andre Beweise von E. W. Hobson, Lond. Proc. 34 (1902), 245; Theory of
functions of a real variable (1907), 485. C. A. Dell' Agnola, Rend. Linc. 19/2
(1910), 108. - Durch diesen Satz ist ein von P. Du Bois-Reymond gegebenes
Beispiel (Berl. Ber. 1886, 366) einer vermeintlich total-ungleichmäßig konvergenten Folge im 9i stetiger Funktionen als irrig nachgewiesen.
2) Diese Einschränkung kann nicht entbehrt werden. Beispiel (Fig. 13): Sei 1 die
Menge r1, r,..., rv... aller rationalen Punkte des 91. Sei h. > 0, rational
und so klein, daß die v Intervalle (ri, ri - 2 b) (i- 1, 2,..., v) fremd sind.
G C+2hv 7? V v 2 5 y+2As
Fig. 13.
Sodann werde f. definiert durch: f,= 0 außerhalb dieser Intervalle; f 1
in ri + h, (i = 1,2,..., v); ft linear in [ri, r, - h\] und [ri - h, r +- 2h]
(i 1, 2,..., v). Dann ist ff } konvergent (lim f-==0), aber total -ungleichv=Cm
mäßig konvergent auf 2, und zwar ist in jedem Punkte a von 92:
U(a; {f~, 1)==1.
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