Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

274 Funktionenfolgen.
Endlich können wir nun auch noch Satz II umkehren.
Satz VIII. Damit es auf 91 eine Funktionenfolge {f/}
gebe, für die der Teil S von 9C die Menge aller Punkte ist,
in denen {f,} nicht gleichmäßig auf 91 konvergiert, ist notwendig und hinreichend, daß 23 Vereinigung abzählbar
vieler in 91 abgeschlossener Mengen sei.
Die Bedingung ist notwendig; dies ist schon in Satz II
enthalten.
Die Bedingung ist hinreichend. Sei in der Tat 3 Vereinigung
abzählbar vieler in 91 abgeschlossener Mengen. Wir setzen:
Dann ist 51 Vereinigung abzählbar vieler in 9~ abgeschlossener Teile
von 91.91. Also gibt es nach Satz VII eine auf 91 konvergente
Funktionenfolge {gv}, die in den Punkten von 31 ungleichmäßig,
in denen von 9 — 31 gleichmäßig auf 1 konvergiert. Wir setzen nun:
h(a) (1)V r(a,5l-,); f932g + 11 ^.
Die Folge {hi} ist gleichmäßig konvergent auf W1 in jedem Punkte
von 1- S,; hingegen konvergiert sie nicht in den Punkten von
2 1). Also konvergiert auch {f4} nicht in den Punkten von 2,
während in den Punkten von 9-, {f,} gleichzeitig mit {g,}
gleichmäßig konvergent ist auf 91 oder nicht. Damit ist Satz VIII
bewiesen.
~ 7. Punktweise ungleichmäßige Konvergenz.
In Analogie zur Definition der punktweise unstetigen Funktionen
(Kap. III, ~ 4) definieren wir nun: Die auf 91 konvergente Funktionenfolge {f,} heißt punktweise unstetig (bzw. ungleichmäßig)
konvergent auf 91, wenn die Menge aller Punkte von 91, in denen
{f/} stetig (gleichmäßig) auf 91 konvergiert, dicht in 91 ist. Nur mit
dem Falle punktweise ungleichmäßiger Konvergenz (in dem die gleichmäßige Konvergenz auf 91 als Spezialfall enthalten ist) wollen wir
uns näher befassen.
In Analogie zu den Sätzen II, III, IV von Kap. III, ~ 4 stehen
die ganz ebenso zu beweisenden Sätze:
Satz I. Ist die auf 9S eigentlich konvergente Folge {I}
punktweise ungleichmäßig konvergent auf 91, so ist für
jedes q>O die Menge aller Punkte, in denen:
1) Denn jeder Punkt a von SS ist ein isolierter Punkt von 91, so daß
für ihn r(a, 9 - 2) > O.