Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz. 273
Wie beim Beweise von Kap. III, ~ 3, Satz V zerlegen wir:
3,=, + '-, worin: Q', (t - );
dann ist, wie wir dort sahen, eS in sichdicht, während offenbar 3'
nirgends dicht und abgeschlossen in X ist. Ferner ist, wie
wir gleichfalls dort sahen, -<" " t Wir setzen:
- -- 1 t...... ~ ~ ~ /~ +: 4;S~ ~ ~ + -2.6
Nach Satz IV gibt es nun zu jeder (nicht leeren) Menge 58' eine
Folge total-unstetiger Funktionen
gSt, L gSy, 2 ' * ', 'X?) * * *
die nur die beiden Werte 0, 1 annehmen, und die auf 3'' totalungleichmäßig gegen 0 konvergieren:
(t) lim gi,, 0.
a, = CO
Wir definieren eine Funktionenfolge {g } auf 92 durch:
g,=-gi, 1, auf 31'; 1, t,. auf -. -I;
g,- =0 auf 2 - 3".
Aus (t) folgern wir sofort:
~(ttff) lim g=0 auf Sf,
während wir, ganz wie beim Beweise von Kap. III, ~ 3, Satz V,
erkennen, daß die Konvergenz ungleichmäßig ist in jedem Punkte
von S3", gleichmäßig in jedem Punkte von 2- B3".
Da S' Vereinigung abzählbar vieler, in 9I abgeschlossener und
nirgends dichter Mengen ist, gibt es nach Satz VI eine Funktionenfolge {h,} auf S9, so daß:
(tt -) limh, — 0 auf 91,
und so daß die Konvergenz ungleichmäßig auf 9 ist in jedem Punkte
von 3', gleichmäßig in jedem Punkte von W - $'.
Bilden wir nun die Folge:
(ttt) g1, hl, g2, h,..., g,, h,2,....,
so konvergiert auch sie, wegen (tt) und (ttt) auf ganz 9 gegen 0.
Da in jedem Punkte von 93 =-3'- 3" sei es {gv}, sei es {h,} ungleichmäßig auf 9 konvergiert, so auch (ttt). Da in jedem Punkte
von 9 - S sowohl gy als hi gleichmäßig auf 9 konvergiert, so auch
(ttt). Damit ist Satz VII bewiesen.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 18