Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz. 271
Satz VI. Die Aussage von Satz V bleibt bestehen, wenn
B Vereinigung abzählbar vieler in 9 abgeschlossener und
nirgends dichter Mengen ist.
Sei in der Tat:
wo jede Menge e, ein in 9/ abgeschlossener und nirgends dichter
Teil von 91. Nach Satz V gibt es zu jeder Menge $,3 eine Folge
f,, v} auf 1 stetiger Funktionen, so daß:
y= aO
und so daß die Konvergenz von {f,,} gleichmäßig ist auf 9 in den
Punkten von 9- -, ungleichmäßig in den Punkten von 93,.
Wir bilden nun die Doppelfolge:
u. *fo, (7,r=-l, 2,.).
Wir ordnen sie irgendwie in eine einfache Folge,
fl2, **...,T....
von der wir nun leicht erkennen, daß sie die in Satz VI verlangten
Eigenschaften hat.
In der Tat, zunächst ist auf ganz 91:
(*) lim f,= O.
Y=00
Andernfalls gäbe es einen Punkt a von 91 und ein e >0, so daß:
(**) f (a) e für unendlich viele v.
Da aber:
1
(**%*) 0O- i ft,,<e für a,>- und alle v,
müßte es wegen (**) mindestens ein i- geben, für das:
1
- f,,v(a) > e für unendlich viele v,
im Widerspruche mit:
lim f,, -0,
womit (*) bewiesen ist.
Da die Folge
1 1 1