Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

268 Funktionenfolgen.
mäßig konvergent. Wir können also {f/} als beschränkt voraussetzen. In jedem Punkte, in dem die Folge gleichmäßig konvergiert,
konvergiert sie dann auch eigentlich gleichmäßig.
Nach ~ 5, Satz V ist also die Menge 33 aller Punkte von 91, in
denen {f,} nicht gleichmäßig auf 2 konvergiert, nichts andres als
die Menge aller Punkte von 29, in denen:
0(a; {f,,f, 1)>0.
Bezeichnen wir noch mit!8 die Menge aller Punkte von X(, in denen:
O(a; {f)}, )~>-,
so ist demnach:
Nach Satz I aber ist jede Menge 03, abgeschlossen in 91, und Satz II
ist bewiesen.
Sei nun insbesondere {tf} konvergent auf 91. Wir nennen
dann jeden Punkt von 9(, in dem {fb} gleichmäßig auf 91 konvergiert, einen Punkt gleichmäßiger, jeden andern Punkt von 91
einen Punkt ungleichmäßiger Konvergenz von {f,} auf 91.
Satz III. Ist {f,} konvergent auf 9l, so ist die Menge
aller Punkte ungleichmäßiger Konvergenz von {f,} auf 21
Vereinigung abzählbar vieler in 91 abgeschlossener Teile
von 1291.
Dies folgt unmittelbar aus Satz II, da jeder isolierte Punkt
von 91 notwendig ein Punkt gleichmäßiger Konvergenz von {t}
auf 91 ist.
Wie in Kap. III, ~ 3 wollen wir uns überzeugen, daß von den
Sätzen II und III die Umkehrung giltl).
Wir nennen die auf 9 konvergente Folge {f,} total - ungleichmiäßig konvergent auf 91, wenn für sie jeder Punkt von 91 ein
Punkt ungleichmäßiger Konvergenz ist. Wir gehen schrittweise vor
und beweisen zunächst:
Satz IV. Ist die (nicht leere) Menge 29 insichdicht, so
gibt es eine auf 91 total-ungleichmäßig gegen 0 konvergierende Folge {ff} von Funktionen, deren jede auf 91 totalunstetig ist, und nur die beiden Werte 0 und I annimmt.
In der Tat, beim Beweise von Kap. III, ~ 3, Satz IV haben wir
gesehen, daß 91 gespalten werden kann in zwei in 91 dichte Teile:
__gl._ hieu und Pr= ) - 3.
1) Vgl. hierzu W. H. Young, Lond. Proc. (2) 1 (1904), 356.