Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz. 267
Aus der Ungleichung:
f" (an) - f l(a,,) 1- fn (an)- f(a) I f, (a,) - f(a,)
folgt ferner:
lim l fn (an) - f,n (a,) | < lim ftin (an)- f(a,) l + lim i f' (an ) f (a)
2 U (a; {;,}, )
und somit auch:
O(a; {f}, 9) 2 U(a;{;}, 9).
Damit ist auch die zweite Hälfte von (*) bewiesen und der Beweis
von Satz X beendet.
Neben Satz V tritt nun:
Satz XI. Sind alle f;, endlich1), so ist, damit die konvergente Folge {f,.} eigentlich gleichmäßig konvergent sei
in a auf 9f, notwendig und hinreichend, daß:
U(a; {f /}, n)= 0.
In der Tat, dies folgt unmittelbar aus Satz V, da nach Satz X
die beiden Bedingungen:
U(a; {f}, 9)==O und O(a; {f,}, 2)=-O
gleichbedeutend sind.
~ 6. Verteilung der Punkte ungleichmäßiger Konvergenz.
Sei wieder {f,} eine auf Wf gegebene Funktionenfolge. In Analogie zu Kap. III, ~ 2, Satz XVI erhalten wir:
Satz I. Die Menge aller Punkte von 92, in denen
0(a; {f} V)>q (oder U(a; {f,} 9-t)>q)
ist (für jedes q) abgeschlossen in X.
In der Tat, dies folgt vermöge Kap. 11, ~ 9, Satz IV aus der
Tatsache, daß 0(a; {f,}, 92) und U(a; {f,}, 9) oberhalb stetig auf 9t
ist (~ 5, Satz IV, IX).
In Analogie zu Kap. III, ~ 3, Satz I folgern wir daraus:
Satz II. Ist {fy} eine beliebige Folge auf 91, so ist die
Menge aller Punkte von 91, in denen {f,,} nicht gleichmäßig
auf 92 konvergiert, Vereinigung abzählbar vieler in 92 abgeschlossener Teile von 91.
In der Tat, geht {f,} durch die Schränkungstransformation über
in {f,*}, so sind {f,} und { fi} in denselben Punkten von 9 gleich1) Statt dessen kann es auch heißen: "Ist f endlich".