Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

266 Funktionenfolgen.
Satz VIII. In jedem Punkte a von f0~ stimmt der Ungl.eichmäßigkeitsgrad von {f,} auf Of überein mit der oberen
Schrankenfunktion von ~ auf X:
U (a,{}, )=G a; ', t).
Aus Kap. II, ~ 11, Satz II folgt daher weiter:
Satz IX. Es ist U(a; {f,}, X) oberhalb stetig auf fo~.
Der Zusammenhang zwischen U(a; {f,}, 9) undl O(a; {fr,}, )
wird hergestellt durch den Satz:
Satz X. Es besteht die Ungleichungl):
*) U(a; {f;,}, ) 0a; {f} ) 2 (a; {,}, 2(a).
In der Tat, nach Satz VII gibt es in % eine Punktfolge {al}
und eine Indizesfolge {v,}, so daß:
(**) lim a -— a; limn- + oo; lim fv(an)-f(a) = Ua(a; {,f~}, 9).
n=-o nCo n-oO
Sei {q^} eine Zahlenfolge, so daß:
(***) q. < ( f,'. (an)- f(aj) l; lim i= lim /, (a, )- f(ac).
Wegen:
i fn (an) - f (a") = fn (a)- lim f, (a)
gibt es ein v> V,,y so daß2):
I f (a,)- fn (a) ) ql>
Dann aber folgt aus (**) und (***):
lim | [;, (%)- f,,(aj) | _ Z(a; {fX,}, 9,
und somit (da wegen v ', > v auch lim=- +l-oo ist) erst recht:
ft — O
o(a; {f,}, )~U(a; {f}, v).
Damit ist die erste Hälfte von (*) bewiesen.
1) Beispiel, in dem U(a; {fp}, f) und O(a; {f,}. 2) verschieden ausfallen: Sei im S,:
0 in (- oo, 0] und in -, +oo)
t(-i)Y in (0, )
Dann ist im Punkt 0:
U==1; 0=-2.
2) Dies gilt insbesondere auch, wenn f,^(a") und f(a,) denselben unendlichen Wert haben, da dann fv (a,,) -f(a) = 0 gesetzt war, und mithin
q, <0 ist.