Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 5. Schwankung und Ungleichmäßigkeitsgrad usw. 263
Satz III1). Ist (p,(a) die obere Schranke aller
f,,' (a)- f, (a) (v'_ v, > ),
so ist:
(1) 0 (a; {f,}, )- -lim G (a; %~, 9).
Bemerken wir in der Tat zunächst, daß die Folge {9(v} monoton
abnimmt, daher auch die Folge {G (a;;QvY, t)}, so daß der Grenzwert
in (1) existiert.
Sei sodann q eine beliebige Zahl:
(2) q < lim G (a; 99,, ).
Dann ist auch:
q < G (a; 99,,, 9) für alle v.
Es gibt also in I (a; - einen Punkt a, von 9/, in dem:
p (a,) > q,
und mithin, zufolge der Definition von %,, zwei Indizes v?,,, so
daß:,~->n;,' > n; f.( (>aj - f (aj. > q
Dann aber ist:
n2=oo, n= co n,=.= -;=om
lim a"=a — a, —m r +~; lim- v" +; lim I,' (a) — f, (%),
fl=" ---
und somit:
und da dies für jedes (2) erfüllende q gilt, ist auch:
(3) 0 (a; {f)}, 9) lim G (a; cp.,,.).
r' = Co
Sei sodann q eine beliebige Zahl:
(4) > limG -(a; 99, f).
Dann gibt es ein r, so daß:
G (a; vp, )<q.
Mithin gibt es eine Umgebung 1t von a in 91, so daß:
(5) Pv<q auf U.
Ist dann {a} eine Folge aus ~9, sind {~v}, {v'} In.dizesfolgen mit:
(6) lima = a; lim v= +- o; lim v= - oo,
n=) C. Caraho ory, nVorl. ber reelle n=kionen, 177.
1) C. Caratcheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 177.