Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. IV, ~ 5. Schwankung und Ungleichmäßigkeitsgrad usw. 261
~ 5. Schwankung und Ungleichmäßigkeitsgrad einer
Funktionenfolge.
So wie die in Kap. III, ~ 2 eingeführte Schwankung co(a; f, )
als Maf für die Unstetigkeit der Funktion f im Punkte a betrachtet
werden kann, so könnte man den Ausdruck:
Q (a; {fv}, 2) == (a; {fi}, "')- (a; {f}, 9)
als Maß für die Unstetigkeit der Konvergenz der Folge {f,} im
Punkte a betrachten. Wir wollen darauf nicht näher eingehen, vielmehr sogleich einen Ausdruck einführen, der als Maß für die Ungleichmäßigkeit der Konvergenz von {f,} im Punkte a betrachtet
werden kann.
Sei a ein Punkt von ~0. Zu jeder Folge {a,} aus 92, und allen
Indizesfolgen {v,}, {4"} mit:
(0) limanl; im av - a; im -o; lim==+
n = oo n -- 00oo n = o
denken wir uns gebildet1):
lim / fv"(a,) - f, (aj|) v.
n = oo
Die obere Schranke aller dieser v bezeichnen wir mit 0 (a;{f-}, 3),
und nennen sie die Schwankung von {f,,} in a auf 2l.
Satz I. Die Zahl O(ac;{f},W) ist charakterisiert durch
die beiden Eigenschaften:
1. Ist q >0(a; {f},S ),
so gibt es eine Umgebung 11 von a in 9 und einen Index P,
so daß:
fy(a') - f,'(a') < q für alle a' von U und alle v VO, V Vo.
2. Ist q < (a; ft,),
so gibt es zu jedem Index ro in jeder Umgebung U von a
in 9f mindestens einen Punkt a' und ein Indexpaar v~vr,
V'>ro, so daß:
(00) i f(') - f(a') D > q.
In der Tat, wäre Eigenschaft 1. nicht erfüllt, so gäbe es in
U (a; 1 einen Punkt an und dazu zwei Indizes:
Vr~n; v >n,
i) Haben f, (a,") und f4' (a,) denselben unendlichen Wert, so kann man
abei unter ihrer iffeenz den ert verstehn.
dabei unter ihrer Differenz den Wert 0 verstehen.