Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

260 Funktionenfolgen.
unterhalb stetig') in a auf X, so ist {f,} oberhalb gleichmäßig oszillierend in a auf 9/.
Durch Kombination der Sätze IIb und Va ergibt sich:
Satz VIb. Ist {f,} oberhalb gleichmäßig oszillierend in a auf f,
sind alle f3, unterhalb stetig2) in a auf S(, und lim f, oberhalb stetig3)
in a auf V(, so ist {f,} auch oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend in a auf SL.
Die Sätze VIa und VIb zusammen ergeben:
Satz YI. Sind alle f, stetig in a auf 2f, und ist lim fy stetig in a
1' = CO
auf Si, so sind die Begriffe "oberhalb gleichmäßig oszillierend"
und "oberhalb sekundär - gleichmäßig oszillierend" gleichbedeutend.
Satz Vb und.~ 2, Satz XIV ergeben nun (im 'Gegensatze zu Satz IV)
folgende Verallgemeinerung von ~ 3, Satz VI:
Satz VII. Ist {fy} oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend
in a auf 9/, und sind alle f, oberhalb stetig4) in a auf 9f, so ist
auch lim f, oberhalb stetig in a auf X.
y = 00
1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel zu
Satz IIa.
2) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel zu
Satz Va.
3) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel (Fig. 10): Sei
l das Intervall [0, 1] des 911. Sei f (0)==0, f=1 in [l-, 1 und ft linear
in [0, 1. Dann ist {fv} im Punkte 0 oberhalb gleichmäßig, aber nicht
oberhalb sekundär-gleichmäßig oszillierend.
Fig. 10. Fig. 11.
4) Sind die f, unterhalb stetig, so folgt aus der oberhalb sekundärgleichmäßigen Oszillation für die obere Grenzfunktion nichts. Beispiei (Fig. 11):
Sei 2t das Intervall [-1,1] des 9i,. Sei f= lin [-1, 0), f== in 0[,,
fv = in -1, 1. Dann sind alle f unterhalb stetig, und es ist:
1 in [-1, 0)
f== limf, -= im Punkte 0
0 in (0,1].
Also ist f im Punkte 0 weder oberhalb noch unterhalb stetig.